CF 997C Sky Full of Stars

有一个$n\times n(n\le 10^6)$的正方形网格，用红色，绿色，蓝色三种颜色染色，求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色。结果对 $998244353$ 取模。

sol：

可以二维容斥，得到
$$\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{C}_n^i{C}_n^j(-1{)}^{i+j}((!i||!j)?3^{i+j}:3)3^{(n-j)(n-i)}$$

发现后边的指数$3^{(n-i)(n-j)}$可以变成$(3^{n-i}{)}^{n-j}$然后二项式定理

复杂度$nlogn$。

#include
#include
typedef long long LL;
const LL p = 998244353;
const int N = 1e6+7;
inline LL FST(LL b, LL k) {
  LL ans = 1;b %= p;
  while (k) {
    if (k & 1) ans = ans * b % p; b = b * b % p; k >>= 1;
  } return ans;
}
LL ifac[N], fac[N], inv[N];
const int lim = 1e6;
void init() {
  inv[0] = inv[1] = fac[1] = fac[0] = 1;
  for (int i = 2; i <= lim; i++)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
  for (int i = 2; i <= lim; i++)
    fac[i] = (fac[i - 1] * i) % p,
    inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % p;
}
inline LL C(LL a, LL b) {
  return (fac[a] * inv[a - b]) % p * inv[b] % p;
}
LL n, m;
int main() {
  init();scanf("%lld", &n);LL ans = FST(3, n * n); LL ret = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    LL res = C(n, i) * FST(-1, i) % p * (FST(FST(3, n - i) - 1, n) % p - FST(3, (n * (n - i)))) % p * 3LL % p;
    ret = ((ret + res) % p + p) % p;
  }
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    LL res = C(n, i) * FST(-1, i) % p * FST(3, n * (LL)(n - i) + i) % p * 2LL % p;
    ret = ((ret + res) % p + p) % p;
  } ret = ((ret - FST(3, n * n)) % p + p) % p;
  ans = ((ans - ret) % p + p) % p;
  printf ("%lld", (ans % p + p) % p);
}