min25筛 自己的理解

这只是个人看法哦

从yyb这里学的min25

min25筛的疑点

想了好久为什么边界函数要看成全是质数的情况。其实边界函数就是真 · 前缀和。

因为 min25筛的函数必须是 $\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{k}}$
性质1：$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathbf{k}}$ 为积性函数
性质2：$\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 的真 · 前缀和很好求

比如
$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\sum }_{x=1}^n{x}^0=n$
$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\sum }_{x=1}^n{x}^1=\frac{n(n+1)}{2}$
$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\sum }_{x=1}^n{x}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\mathbf{f}(\mathbf{x})={\sum }_{x=1}^n{x}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

反正
最后只要能算出 $$\sum _{i=1}^n[i是质数]x^k$$ 就行啦
就是后文说到的g(x,|p|)，只是一种意思的不同表示而已

min25筛的辅助函数定义

假设我们要算$F(x)的前缀和$

$设f(x)=x^k，F(x)=a_0{f}_0(x)+a_1{f}_1(x)+a_2{f}_2(x)+...+a_m{f}_m(x)$
$S(x)为F(x)的前缀和，S(x)={\sum }_{i=1}^{n}F(i)$
$g(x,|p|)为f的质数\text{质数}质数前缀和，g(x,|p|)={\sum }_{i=1}^n[i\in Prime]f(i)$,至于如何筛，网上都是
$G(x)为F(x)的质数\text{质数}质数前缀和，G(x)=a_0{g}_0(x,|p|)+a_1{g}_1(x,|p|)+a_2{g}_2(x,|p|)+...+a_m{g}_m(x,|p|)$

这里为了方便起见，再设 $h(x)={\sum }_{i=1}^{x}f(P_i)$,在初始化的时候，即欧拉线筛的时候顺便求好
以及$H(x)=a_0{h}_0(x)+a_1{h}_1(x)+a_2{g}_2(x)+...+a_m{g}_m(x)$

min25筛的过程

首先线筛出 $\sqrt{n}$ 以内的质数，顺便求 $h(x)$ 和 $H(x)$,然后整除分块求id
接着算 $\mathbf{g}(\mathbf{n},|\mathbf{p}|)$,即筛好的前置函数，合起来就可以算出$\mathbf{G}(\mathbf{x})$，即$\mathbf{F}(\mathbf{x})$的质数前缀和，继而筛(补)出$\mathbf{S}(\mathbf{x})$

$$g(n,j)=\{\begin{array}{ll}g(n,j-1)& P_j^2>n\\ g(n,j-1)-P_j^k[g(\frac{n}{P_j},j-1)-h(j-1)]& P_j^2\le n\end{array}$$

然后只需要用到$g(n,|p|)$

$$G(n)=a_0{g}_0(n,|p|)+a_1{g}_1(n,|p|)+a_2{g}_2(n,|p|)+...+a_m{g}_m(n,|p|)$$

然后利用$G(n)$与$H(x)$,以及可以快速求的$F(p^k)$

$$S(n,j)=G(n)-H(j-1)+\sum _{k=j}^{P_k^2\le n}\sum _{i=1}^{P_k^{i+1}\le n}(S(\frac{n}{P_k^i},k+1)\times F(P_k^i)+F(P_k^{i+1}))$$

然后$S(n,1)$ 就是 ${\sum }_{i=2}^{n}F(x)$啦，所以$S(n,1)+F(1)$就是所求答案了呀！！！

min25筛的总结

F(1)的值无所谓反正最后加
反正只要满足如下条件就可使用：

$$\begin{gathered} 1.F(p)可以用简单多项式表示，p\in prime \\ 2.F(p^k)可以快速求出，p\in prime \\ 3.F(ab)=F(a)F(b)满足a,b\in prime \end{gathered}$$

反正min25超超超优秀啊，什么形如 ${\sum }_{i=1}^n{i}^{k_1}\varphi (i^{k_2})\mu (i^{k_3})$,都直接秒杀好不好！！！
$$显然F(p)=(-1{)}^{k_3}{p}^{k_1+k_2-1}(p-1)$$

$$F(p^k)=(-1{)}^{k{k}_3}{p}^{k(k_1+k_2)-1}(p-1)$$

而且$d(x),\mu (x),\varphi (x)$都是积性函数，那么乘积也满足第三条，就可以用min25筛

但是记得幂次不能太大，6次及以上自然数幂和要套公式，复杂度就起来了，而且我也不会，嘿嘿
再补充两个：
$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sum _{x=1}^n{x}^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$$

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sum _{x=1}^n{x}^5=\frac{n^2(n+1)(2n^3+4n^2+n-1)}{12}$$