关键路径和AOE网

AOE网的定义

在一个表示工程的带权有向图中，
用顶点表示事件，
用有向边表示活动，
边上的权值表示活动的持续时间，
称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。
AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。

AOE网的性质

⑴ 只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
⑵ 只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。

AOE网可以回答下列问题：

完成整个工程至少需要多少时间?
从始点到终点的路径可能不止一条，只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。
因此，完成整个工程所需的最短时间取决于从始点到终点的最长路径长度，即这条路径上所有活动的持续时间之和。
这条路径长度最长的路径就叫做关键路径。
（关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。

关键路径

首先计算以下与关键活动有关的量：
⑴ 事件的最早发生时间ve[k]
⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]
⑶ 活动的最早开始时间e[i]
⑷ 活动的最晚开始时间l[i]
最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k]，时间余量为0者即为关键活动。

⑴ 事件的最早发生时间ve[k]

ve[1]=0
ve[k]=max{ve[j]+len} (∈p[k])

⑵ 事件的最迟发生时间vl[k]

vl[n]=ve[n]
vl[k]=min{vl[j]-len}（∈s[

⑶ 活动的最早开始时间e[i]

若活动ai是由弧表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此，有：
e[i]=ve[k]

⑷ 活动的最晚开始时间l[i]

活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下， ai必须开始的最晚时间。
若ai由弧表示，
则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。
因此，有：
l[i]=vl[j]-len