最小割的一点理解

转自mjmjmtl大牛：

一、基本问题：

1.到底什么是割：原始点集为V，选出一些点集S使得s∈S，T=V-S，t∈T， 则S到T的边为S到T割，记做[S,T]。

2.什么是最小割：图中所有的割中，边权值和最小的割为最小割！

3.割得容量容量和流量计算的区别：割[S,T]的容量为∑(边(u,v)的容量和)，其中u∈S,∈T。也就是说割的容量不计算反向的边！！而流量为正向的和反向的代数和。

4.最大流-最小割定理：最大流的值为最小割的容量！

5.怎样求割：求完最大流后，在 残留网络中从source开始dfs，被染色的为S，未被染色的为T，则边集[S,T]为割。 （或者从sink反向dfs，被染色的为T，未被染色的为S，边集[S,T]为割）这种思想应该没有错误，我曾经证明过，正向和反向floodFill都能得到合适的解。然而我按照逆向floodFill提交了两道special judge的题，都没有AC！分别是spoj839和poj2125（其中poj2125的SPJ有问题，一会AC一会WA），然而，对于spoj839我自己对我的逆向floodFill答案和正向floodFill答案做了对比(如果有区别，在程序中会死循环)，发现二者没有区别。感觉是SPJ的问题。这一点，暂且放置，以后再次看到了再说。

二、一些割的性质：

1.割[S,T]，流量只能从S流向T，不能从T流向S！（在最大流后找割dfs时其实就满足这个性质，假设T中一个点v流向S中的一个点u，那么u到v有负流量， 则u到v的残留网络严格大于0。反向dfs证明类似）

2.最大流后，割边一定满流。减小某一割边后，网络流减小。

3.如下图，从s沿着残余流量dfs，得到点集S；同理沿着t反向dfs，得到点集T；剩下的是M。分界线cut1和cut2是其中一割，边自然为割边。然而在M中还存有割边（一定存有！！否则M就没用了！）

4.退化一下：如下图所示，S和T有相邻部分边集E1，S和M重合边集相邻部分边集E2，M和T相邻边集部分E3，那么直接升高E1中某条边的容量，会使整体容量直接增高！反之：而如果增大S和M相邻的割边或者M和T相邻的割边，网络流不直接增大，因为M中还存有割边限制

5.继续退化：如果M==空集，cut1和cut2重合（变为cut），则网络中割唯一。可以通过 if ( |S|+|T|==总点数) 来判断

三、割的三个典型应用（参考《最小割模型在信息学竞赛中的应用》）：最大权闭合图、最大密度子图、二分图的最小点权覆盖（二分图的最大点权独立集）