Extended Binomial Theorem

一般情况下，

\[{n \choose k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\]\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^k\]

上述情况适用于 $n>0$，当 $n<0$ 时就不适用了。我们首先定义一些特殊情况：

• 当 $n<k$ 且 $n>0$时，${n \choose k}=0$。
• 当 $k=0$ 时，${n \choose k}=1$。

因此：

\[{n \choose k}=\left\{ \begin{array}[ll] n(n-1)\cdots(n-k+1)/(k!) & k>0 \\ 1 & k=0 \end{array} \right.\]

比如：${-1 \choose 2}=\frac{-1*(-1-1)}{2!}=1$。

广义二项式定理

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty}C_{n}^{k}x^k\]