0 -- 1 分数规划

总结下01分数规划：

01分数规划通常分为三类
（1）基础01分数规划 (模板题:poj2976)
（2）最优比率生成树 (模板题:poj2728)
（3）最优比率生成环 (模板题:自己找)(这个比较难,还是多多研究吧)

首先01分数规划是处理这样一类问题的，给你n个二元组，这个两个元素设为a[i] ,b[i], a[i]是得到这
个物品所能得到的价值，b[i]是得到这个物品所付出的价值，让你求这样一个极值
   R  =  sigma(a[i] * x[i]) / sigma(b[i] * x[i])求他的最大或最小，这里我们以最大为例说事。


设 F(L) = sigma(a[i] * x[i]) - L * sigma(b[i] * x[i])    //注意此时的L和R的关系，其实L == R .
    化简  = sigma((a[i] - L * b[i]) * x[i])
    设 d[i] = a[i] - L * b[i]
    则 F(L) = sigma(d[i] * x[i])
    

    F(L)到底到底有什么用呢？
    我们假设F(L) > 0 则有 sigma(a[i] * x[i]) - L * sigma(b[i] * x[i]) > 0
    转化后得到 sigma(a[i] * x[i]) / sigma(b[i] * x[i]) > L
    也就是说当F(L) > 0 的时候有更大的L，也就是有更大的R，那么只要F(L) > 0我们就可以直接去
    找更大的L（R）直到F(L) 无限接近0为止，这里我们可以用二分去查找，理由是
    F(L) = sigma(d[i] * x[i]) ，d[i] 又是随着L增加而减少的(所以随着L增大,一定有一个点使得F(L)  ==0 ，
   这时再增大的话,就会导致F(L) < 0 [即L<0]，此时的F(L) 没有实际意义,因为L不可能小于0，参数都
   是正的嘛)，只要能找到一种sigma(d[i] * x[i])>=0的情况我们就可以继续往上找，说道这里直接分细
   化，上面说只要找到一组d[i]>=0的就可以low = mid 往上找了，这里到底有没有限制呢，当然有，限制就是上面的那三个分类，
（1）正常的情况（没有任何限制的）我们只要找到一个最大的d[i]，d[i]>= 0就行了
因为是只要找到一种情况就行,我们没必要多找,但是前两天见到一个是限制必须选择n - k个的，那么就把现有的d[i]求出来，
排序，取最大的那n-k个的和，看大是否大于等于0就行了（POJ 2976）
（2）最优比率生成树，就是在我们选择的时候要找到一颗满足要求的数而已，一般都是求最小树
    或者最大树，然后看权值是否>=0.（POJ 2728）
（3）最优比率生成环，就是要求我们选择一个环，这个我习惯用SPFA,判断满足要求的环
（POJ 3621）

 数学分析中一个很重要的方法就是分析目标式，这样我们来看目标式。
R=sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])
我们来分析一下他有什么性质可以给我们使用。
我们先定义一个函数F(L):=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])，显然这只是对目标式的一个简单
的变形。分离参数，得到F(L):=sigma((a[i]-L*b[i])*x[i])。这时我们就会发现，如果L已知的话，
a[i]-L*b[i]就是已知的，当然x[i]是未知的。记d[i]=a[i]-L*b[i]，那么F(L):=sigma(d[i]*x[i])，多么简
洁的式子。我们就对这些东西下手了。
再次提醒一下，我们的目标是使R取到最大值。
我们来分析一下这个函数，它与目标式的关系非常的密切，L就是目标式中的R，最大化R也就
是最大化L。
F的值是由两个变量共同决定的，即方案X和参数L。对于一个确定的参数L来说，方案的不同
会导致对应的F值的不同，那么这些东西对我们有什么用呢?
假设我们已知在存在一个方案X使得F(L)>0，这能够证明什么?
F(L)=sigma(a[i]*x[i])-L*sigma(b[i]*x[i])>0即sigma(a[i]*x[i])/sigma(b[i]*x[i])>L也就是说，如果一
个方案使得F(L)>0说明了这组方案可以得到一个比现在的L更优的一个L，既然有一个更优的
解，那么为什么不用呢？
显然，d数组是随着L的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的L使得不存在一种方案，
能够使F(L)>0. 我们猜想，这个时候的L就是我们要求的最优解。之后更大的L值则会造成无论
任何一种方案，都会使F(L)<0.类似于上面的那个变形，我们知道，F(L)<0是没有意义的，因
为这时候的L是不能够被取得的。当F(L)=0使，对应方案的R值恰好等于此时的L值。
 综上，函数F(L)有这样的一个性质：在前一段L中可以找到一组对应的X使得F(L)>0，这就提
供了一种证据，即有一个比现在的L更优的解，而在某个L值使，存在一组解使得F(L)=0,且其
他的F(L)<0，这时的L无法继续增大，即这个L就是我们期望的最优解，之后的L会使得无论哪
种方案都会造成F(L)<0.而我们已经知道，F(L)<0是没有任何意义的，因为此时的L值根本取不
到。
最后一次提醒，我们的目标是R！！！ 
如果现在你觉得有些晕的话，那么我要提醒你的就是，千万不要把F值同R值混淆。F值是根据
我们的变形式求的D数组来计算的，而R值则是我们所需要的真实值，他的计算是有目标式决
定的。F值只是提供了一个证据，告诉我们真正最优的R值在哪里，他与R值本身并没有什么必
然的联系。
根据这样的一段性质，很自然的就可以想到二分L值，然后验证是否存在一组解使得F(L)>0，有就移动下界，没有就移动上界。
 所有的01分数规划都可以这么做，唯一的区别就在于求解时的不同——因为每一道题的限制
条件不同，并不是每一个解都是可行解的。比如在普通的数组中，你可以选取1、2、3号元
素，但在生成树问题中，假设1、2、3号元素恰好构成了一个环，那就不能够同时选择了，这
就是需要具体问题，具体分析的部分。
二分是一个非常通用的办法，但是我们来考虑这样的一个问题，二分的时候我们只是用到了F
(L)>0这个条件，而对于使得F(L)>0的这组解所求到的R值没有使用。因为F(L)>0,我们已经知
道了R是一个更优的解，与其漫无目的的二分，为什么不将解移动到R上去呢？求01分数规划
的另一个方法就是
，他就是基于这样的一个思想，他并不会去二分答案，而是先随便给定一个答案，然后根据更
优的解不断移动答案，逼近最优解。由于他对每次判定使用的更加充分，所以它比二分会快上
很多。但是，他的弊端就是需要保存这个解，而我们知道，有时候验证一个解和求得一个解的
复杂度是不同的。二分和Dinkelbach算法写法都非常简单，各有长处，大家要根据题目谨慎使
用。

提醒一句,我在网上也看了很多讲0-分数规划的,感觉自己都有点晕了,上面时借鉴的一些我认为写的比较好的,然后只想说一下,二分时那个L(即是最后那个答案)上界和下界的范围是要根据题意要确定的,并没有一个比较确定的值,其实都可以二分一个比较大的范围,只是时间会增加,所以最好还是判断一下我们最后需要的答案大概在那个范围,然后二分一个比较合理的范围,这样时间也优化了，题目也解决了！！！