这部分重新从定积分学了
1,lnx 的导数就是x^(-1) = 1/x
那么求∫(1/x)dx = ln|x|+C
2,初值问题.就是求∫f(x)dx = F(x) + C 求C
.
3,Houdini体积映射:
#define PI 3.1415926 vector gmin ; vector gmax ; getbbox(1,gmin,gmax); // get sphere radius float R = gmax.x - gmin.x; //printf("gmax.x / gmaxmin : %f,%f \n", gmax.x, gmin.x); float r = R / 2.000f; vector center = (gmax + gmin)/2; int segments = 20; float dx = R / segments; function float cylinder_volume(float r ; float h) { return PI * r *r * h; } float v = 0.0f; for(int i=0;i) { float ci = lerp(-r, r ,1.0f/segments * i); float cylinder_r = sqrt(r*r - ci*ci); //printf("r/ci/cylinder_r %f/%f/%f \n" ,r, ci , cylinder_r); float cl_volume = cylinder_volume(cylinder_r, dx); v += cl_volume; } //printf("volume is %f \n" , v); setdetailattrib(geoself(),"volume",v);
下图可以看到体积小的是黑色.虽然方法积的是圆柱形,最终为球,为了学习积分,没用球的方程
两条曲线之间的面积:
A = ∫ [f(x)-g(x) ] dx 积分上限b,下限a
数值积分:
有时候不知道反导数怎么求?梯形法,simpson法
曲线积分:求曲线长度:
求普通曲线的长度:
L = ∫ [sqrt(1+dx/dy)^2 ] dy 或者 L=∫ [sqrt(1+dy/dx)^2] dx
求参数方程如图:
x= cos^3t
y = sin^3t
0<= t <= 2π
解方法就是:
√ [(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2]
float pi = 3.141596; float t = fit(@ptnum,0,@numpt-1,0,1) * 2 * pi; @P.x = cos(t) * cos(t) * cos(t); @P.y = sin(t) * sin(t) * sin(t);
蒙特卡洛求PI
曲线下的面积/矩形面积 = 曲线下的总点数/随机点的总数
<1>求PI
import random,math import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt N = 100000 distance = lambda x, y: math.sqrt(x * x + y * y) np.random.seed(100) x = np.random.uniform(-1,1,N) np.random.seed(200) y = np.random.uniform(-1,1,N) def Monte_carlo_PI(): hitNum = 0 for index in xrange(0,N,1): if distance(x[index],y[index]) <=1 : hitNum += 1 proportion_seed = float(hitNum)/float(N) return proportion_seed * 4 if __name__ == "__main__": print Monte_carlo_PI() fig = plt.figure(figsize=(10,10)) ax = fig.add_subplot(111) ax.spines['top'].set_color('none') ax.spines['right'].set_color('none') ax.xaxis.set_ticks_position('bottom') ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) ax.yaxis.set_ticks_position('left') ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) #plt.plot(xs,ys,'r') #plt.scatter(0, 0, s=100000) circle2 = plt.Circle((0, 0), 1, color='r',alpha = 0.5) ax.add_patch(circle2) plt.scatter(x, y,s=1,c="black") plt.grid(True) plt.show()
功:
弹簧做功:弹簧的积分区域一定是变化了多少,从0开始积分变化了多少。如下
1,弹簧系数: 把弹簧从自然长度2米拉到5米做功为1800焦耳,求弹簧的弹力系数.
弹簧力是:F = kx (系数*变化的距离)
弹簧做功:∫F(x)dx 积分阈为[0,变化长度]
所以W ∫F(x)dx = k/2 * x^2 [0,3]
W(3) - W(0) = 1800 ,k = 400牛顿/米
抽水做功:
第一步(薄片体积) : ΔV = PI * r^2 Δy 这里薄片体积表示为圆柱
第二步(薄片力) : F(y) = ΔV * 比重
第三步(薄片需要的功) : ΔW = 力 X 力的作用距离 = F(y) * (距离-y)
第四步(黎曼和总功) : w =Σ ΔW
矩和质心
....