MIT算法导论——渐进符号

两部分内容：

• 介绍渐进符号
• 介绍递归及解法

渐进符号

O-notation
f(n) = O(g(n))，表示存在c > 0, n0 > 0使得0 ≤ f(n) ≤ c·g(n )对于所有n ≥ n0时成立。
Ex: 2n2 = O(n3)。注意这里的等号是 不对称的，只能从左到右成立反之则不成立，更形象的是记做2n2 ∈ O(n3)。f(n)的复杂度最多与g(n)一个数量级，即小于等于 (<=)

O当作宏（Marco）使用
A set in a formula represents an anonymous function in that set.
Ex: f(n) = n3 + O(n2), 表示f(n)主要是n3，但是还有一些n2的低阶项，也就是说存在h(n) ∈ O(n2)，使f(n) = n3 + h(n)

Ω-notation
f(n) = Ω(g(n))，表示存在c > 0, n0 > 0使得0 ≤ c·g(n ) ≤ f(n) 对于所有n ≥ n0时成立。
Ex: n(1/2) = Ω(lgn)，对于足够大的n，根号n是lgn的常数倍。f(n)的复杂度最少与g(n)一个数量级，即大于等于 (>=)

Θ-notation
f(n) = Θ(g(n))，表示f(n)的复杂度与g(n)的复杂度相当。
Ex: n2 + O(n) = Θ(n2)。等号左右的复杂度相当

o-notation: f(n) = o(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级小（<）
ω-notation: f(n) = ω(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级大（>）

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递归及解法

主要三种解递归式的方法，但是目前没有哪种通用的方式解决递归式

代换法

1. Guess the form of the solution。第一步需是猜答案。不需要完全猜出来，也不需要知道常数系数确切是多少，仅需要猜它的形式，例如n2
2. 验证这个递归式是否按照数学归纳法满足条件
3. 解除常数系数

Ex: T(n) = 4T(n/2) + n | 假设T(1) = Θ(1)
正确结果应该是n2，但是先假设T(n) = O(n3)
假设T(k) <= c·k3 | k < n
需要证明T(n) <= c·n3
T(n) = 4T(n/2) + n
>T(n) <= 4c(n/2)3 + n = (c/2)n3 + n = cn3 - ((c/2)n3 - n)
>T(n) <= cn3 | (c/2)n3 - n>0，这个不等式是有解的

证明了T(n)小于等于一个常数乘以n3，不过不是严格的上界，事实上我n2也成立。所以这并不能证明递归式的答案就是n3，这只是表示至多是O(n3)

递归树法
递归树法总是能用，它能告诉你一种直觉让你知道答案是多少，只是有些不严谨。所以用这个方法时要特别小心，不然可能会得到错的答案。基本原理是，将递归式用树形结构来解释

Ex: T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n2
T(n) = n2
          /  \
 T(n/4)  T(n/2)

展开树

 

主定理方法
本质上可以认为是递归树方法的一个应用，但是它更精确。不同于递归树方法有省略号有待证明，主定理方法基于一个定理（主定理）。但是主方法限制很多只能应用到特定的递归式上: T(n) = aT(n/b) + f(n) | a>=1 b>1 f(n)渐进趋正（存在n0，当n>n0时，f(n)>0）

主定理的三种情况和结果：

 

比较 f(n) 和

(计作 f0)

三种情况

练习

T(n) = 4T(n/2) + n

a=4, b=2 => f0=n2, f(n)=n
存在ε>0，f(n) = O(n2-ε)，即f(n)的增长比f0增长慢，满足情况1
T(n) = Θ(n2)

T(n) = 4T(n/2) + n2
a=4, b=2 => f0=n2, f(n)=n2
当k=0，f(n) = Θ(n2 lg0n)，即f(n)的增长与f0增长同步，满足情况2
T(n) = Θ(n2 lgn)

T(n) = 4T(n/2) + n3
a=4, b=2 => f0=n2, f(n)=n3
当ε=1，f(n) = Ω(n2+ε) 并且4f(n/2) <= cf(n) [4(n/2)3 <= cn3 | c= 1/2]，即f(n)的增长比f0增长快，同时递归中f不断变小，满足情况3
T(n) = Θ(n3)

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