数据结构与算法（python)：二叉树

1、树相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树个数
• 树的度：树中最大的节点的度称为树的度
• 叶节点或终端节点：度为零的节点
• 父节点：一个节点含有子节点，这个节点称为子节点的父节点
• 子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
• 兄弟节点：含有相同父节点的节点互称兄弟节点
• 节点的层次：从根节点起，根节点为第1层，根节点的子节点为第2层，依此类推
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互称堂兄弟节点
• 节点的祖先：从根节点到该节点所经分支上的所有节点
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
• 森林：由 $m$ 棵互不相交的树的集合称为森林

2、树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点间没有顺序关系，也称自由树
• 有序树：树中任意节点的子节点间有顺序关系
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树
    • 完全二叉树：除最后一层外，每层节点数目均达到最大值，且最后一层节点从左到右紧密排列
      • 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树
    • 平衡二叉树（AVL树）：任何节点的两棵子树高度差不大于1的二叉树
    • 排序二叉树（二叉查找树）
      • 若左子树不空，左子树所有节点的值均小于等于根节点值
      • 若右子树不空，右子树所有节点的值均大于等于根节点值
      • 左右子树也分别为二叉排序树
  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树，也称最优二叉树
  • B树：对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，保持数据有序，拥有多于两个子树

3、树的存储

1. 顺序存储
2. 链式存储

4、应用

1. $xmlhtml$ 等
2. 路由协议
3. $mysql$ 数据库索引
4. 文件系统的目录结构
5. 机器学习中的决策树

5、二叉树的性质

1. 二叉树第 $i$ 层至多有 $2^{i-1}$ 个结点
2. 深度为 $k$ 的二叉树最多有 $2^k-1$ 个结点
3. 任一棵二叉树，叶结点数目为 $N_0$，度为 $2$ 的结点总数为 $N_2$，则有：$N_0=N_2+1$
4. 具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度为 $\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$
5. 对完全二叉树，从上到下，从左到右编号，编号为 $i$ 的结点，左子结点编号为 $2i$ 右子结点编号为 $2i+1$，父结点编号为 $\lfloor i/2\rfloor$。

6、Python 实现

6.1、定义树结点及二叉树

# 定义二叉树结点
class Node(object):
	"""定义结点"""
	def __init__(self, item):
		self.elem = item
		self.lchild = None
		self.rchild = None

# 定义二叉树
class Tree(object):
	"""二叉树"""
	def __init__(self):
		self.root = None

6.2、向二叉树添加元素

	# 添加树结点
	def add(self, item):
		node  = Node(item)
		if self.root is None:
			self.root = node
			return
		queue = []
		queue.append(self.root)
		while queue:
			cur_node = queue.pop(0)
			if cur_node.lchild is None:
				cur_node.lchild = node
				return
			else:
				queue.append(cur_node.lchild)
			if cur_node.rchild is None:
				cur_node.rchild = node
				return
			else:
				queue.append(cur_node.rchild)

6.3、二叉树广度优先遍历

	def breadth_travel(self):
	"""广度优先遍历：借助队列实现"""
		if self.root is None:
			return
		queue = [self.root]
		while queue:
			cur_node = queue.pop(0)
			print(cur_node.elem)
			if cur_node.lchild is not None:
				queue.append(cur_node.lchild)
			if cur_node.rchild is not None:
				queue.append(cur_node.rchild)

6.4、二叉树深度优先遍历

深度优先遍历包括三种情况：

1. 先序遍历
2. 中序遍历
3. 后序遍历

6.4.1、先序遍历

# 递归实现
def preorder(self, root):
	if root == None:
		return
	print(root.elem)
	self.preorder(root.lchild)
	self.preorder(root.rchild)

# 非递归实现
def preorder(self, root):
	"""通过栈实现"""
	stack = []   # 用于保存访问路径，使算法能够回溯
	cur_node = root
	while cur_node or stack:
		if cur_node:
			print(cur_node.elem)
			stack.append(cur_node) # 保存访问过的结点
			cur_node = cur_node.lchild
		else:                      # 开始回溯
			cur_node = stack.pop()
			cur_node = cur_node.rchild

6.4.2、中序遍历

# 递归实现
def inorder(self, root):
	if root == None:
		return
	self.inorder(root.lchild)
	print(root.elem)
	self.inorder(root.rchild)

# 非递归实现
def inorder(self, root):
	"""通过栈实现"""
	stack = []   # 用于保存访问路径，使算法能够回溯
	cur_node = root
	while cur_node or stack:
		if cur_node:
			stack.append(cur_node) # 保存路径
			cur_node = cur_node.lchild
		else:                      # 开始回溯
			cur_node = stack.pop()
			print(cur_node.elem)
			cur_node = cur_node.rchild

6.4.3、后序遍历

# 递归实现
def postorder(self, root):
	if root == None:
		return
	self.postorder(root.lchild)
	self.postorder(root.rchild)
	print(root.elem)

def postorder(self, root):
	"""通过栈实现"""
	stack = []   # 用于保存访问路径，使算法能够回溯
	flag = []    # 用于记录路径经过结点的次数，控制访问结点的时机
	cur_node = root
	while cur_node or stack:
		if cur_node:
			stack.append(cur_node) # 保存路径
			flag.append(1)         # 记录第一次经过该结点，开始访问左子树
			cur_node = cur_node.lchild
		else:                      # 开始回溯
			cur_node = stack.pop()
			f = flag.pop()
			if f == 1:             # 经过该结点一次，左子树已访问完
				stack.append(cur_node)
				flag.append(2)     # 记录第二次经过该结点，开始访问右子树
				cur_node = cur_node.rchild
			else:                  # f == 2 两棵子树访问完，开始访问父结点
				print(cur_node.elem)
				cur_node = None
				"""
				这里不是 cur_node == stack.pop() 是因为子树全部访问完，
				要进入回溯过程，取出路径中保存的最后一个标志进行判断
				若是从左子树进行的回溯，则访问右子树
				若是从右子树进行的回溯，则访问父结点
				"""