兰贝特构造的一个有关属种推理的幻想式演算1—逻辑与算法之二十

兰贝特构造的一个有关属种推理的幻想式演算1—逻辑与算法之二十

双20的新年把世界带入了21世纪的20年代，新年伊始，逻辑与算法的思考还在心中萦绕。岁月前行，思绪回归，莱布尼兹的那两个片断19和20之后，继续阅读《符号逻辑概览》，自然就轮到了瑞士出生的数学家兰贝特Johann Heinrich Lambert。

自莱布尼兹之后，欧洲出现各种各样发展逻辑演算的意图。萨格尔segner，贝努里Bernoulli1716-1790，普罗凯Ploucquet，Tonnies，兰贝特Lambert（1728-1777），Holland，Castillon，还有一些其它人，他们似乎不约而同地在朝这个方向进行研究。其中最重要的是普罗凯，兰贝特和Castillon。但仅有贝努里Bernoulli给兰贝特留下的文献，给我们提供了讨论其演算的机会，我们也就能够在莱布尼兹之后，来领略兰贝特的逻辑演算，这个演算被刘易斯在他的《符号逻辑概览》中称作幻想式的逻辑演算。

兰贝特照片



兰贝特出身瑞士，是德国物理学家，数学家和天文学家，一个和布尔一样靠自学成才的天才学者，可惜寿命太短。可他对逻辑演算这个主题却有一些长篇大论，在一本有关逻辑的随笔中，他写下不少有关符号推演的文字。本篇依据刘易斯《符号逻辑概览》一书，对兰贝特的工作给出一些理解与记载。

兰贝特的符号列表：

一、符号列表

等号=

加法┼

减法─

对立×

全称>

特称<

联系动词≈

给定的概念a,b,c,d

未判定的概念x,y,z

属γ

种差δ

兰贝特的演算完全从内涵的观点出发来建构，字母表达概念，不是表达类，【┼】表示两个概念的联合形成第三个概念，【─】表达概念内涵某些部分的抽象和消去。而a和b的乘积则表示两个概念的共同部分。γ和δ是指有资格使得任意概念和它们相乘。这样，aγ表示了a的上属概念，aδ表示了a的种差。很多的运用构成了形式逻辑一些著名的法则，例如，一个给定的概念等于属加种差，由此我们就有了以下列出的，似乎作为定理或者定义来使用的第一个命题。

二、关于属和种的几个命题

1） aγ┼aδ=a（γ┼δ）=a

这里的aγ┼aδ就是对于a的定义或者解释。这正是亚里士多德定义中的属加种差公式：定义=属+种差。表现在这个命题中就是：

一个概念a，如果给它定义或者解释的话，

aγ指谓的是a的上属概念，

aδ指谓的是其作为a性质的种差，正好对应于那个属加种差的定义公式。

根据命题1），立刻就可以逻辑地得到以下结果，于是在兰贝特的基本命题中又出现了减法。

2） aγ=a—aδ

什么是一个概念a的上属呢？如果我们用a减去a的种差，那就是a的上属。

3）aδ=a—aγ

什么是一个概念a的种差呢？如果我们用a减去a的上属，那就是a的种差。

兰贝特认为，【┼】和【─】是严格地互为逆反的运算。但这一点在莱布尼兹那里却遇到过困难。如果两个概念a和b，有任意共同的内涵部分，那么（a+b）—b就将不是a，而应该是那些既不完全属于a，也不完全属于b的部分。使用具体的语词实例，

（欧洲人+木匠）—木匠

这个语词算式中的两个概念，有共同的部分，即两个概念都有“人”这个概念包含其中。算式的结果，不是欧洲人，而是欧洲人减去人。这大概是因为，欧洲人加上木匠形成了一个新概念，也就是前文说到的第三个概念，姑且称之为欧洲木匠吧。当你减去木匠这个概念的时候，这个留下的概念会是什么呢？好像给人很大的想象余地。所以，【┼】和【─】在这里就不能完全看作是互为逆反的运算了。兰贝特在这里碰到的，正是莱布尼兹在片断19中遇到的同样问题。

18世纪的欧洲人思考这类带着点哲学意味的演算，很善于大胆想象。有了前面这几个看似不那么成熟的公式，依然可以推出一些新的东西来。于是更多属和种差的原则就继续导致新的命题。任何给定a的属也是一个概念，一个能被解释的概念，也能是a的种差。

于是我们又得到命题4），而且还有这个命题4）之所以能导出的演绎证明。

4）a=a（γ┼δ）2=aγ2+aγδ+ aδγ+aδ2

证明：

依据1）aγ┼aδ=a（γ┼δ）=a

等式两边乘以γ，由此得：

（1）aγ= aγγ+ aγδ 并且

依据2）aγ┼aδ=a（γ┼δ）=a

等式两边乘以δ，由此得

（2）aδ= aδγ+ aδδ

将（1）与（2）式相加得：

（3）aγ+ aδ= （aγγ+ aγδ）+（ aδγ+ aδδ）= aγ2+aγδ+ aδγ+aδ2

因为，a= aγ+ aδ

所以，a=a（γ┼δ）2=aγ2+aγδ+ aδγ+aδ2

证毕。

这就是说，如果我们希望定义或者解释a，那就不必在给定其属和种差的那个点上停止，而是可以依据属与种差来定义属，类似地，对种差的定义也一样。

所以，a就等价于a的属的属aγγ，加上a的那个属的种差aγγδ，加上a的那个种差的属aγδδ，加上a的那个种差的种差aδδ。

这可以称为a的高阶定义或者高阶解释。

很明显，这个高阶的过程和高阶的解释也许可被带至任意的长度；这个结果兰贝特称为牛顿公式，那当然是一个非常诱人的公式。如果我们使用更基本的步骤，就会对这个牛顿公式得到最好的理解。且看这个基本步骤：

假定这个解释升了一度，结果就形成以下命题，这个命题显然从命题4）的二次方变成了命题4‘）的三次方：

4‘）a=a（γ3+γγδ+ γδδ+δ3）

   +γδγ+δγδ

   +δγγ+δδγ

两个γ’和一个δ的三种可能的安排也许可以用3γ3δ概括，同样，两个δ’和一个γ的三种可能的安排也许可以用3γδ3概括。由于这个发现，一个用于解释的公式几乎可以带上任意的长度n，这就形成命题5）：一个似乎更具普遍性的n次方公式。这也就是我们前面讲到的，兰贝特命名的牛顿公式。

5）a=a（γn+nγn-1δ+

γn-2δ2+

γn-3δ3）+﹍﹍等等

刘易斯在这里给出了简洁的评论，他说兰贝特的这个“牛顿公式”，真是一个相当让人愉悦的数学幻想。由这个幻想式的牛顿公式，又导引出另外两个有趣的命题。

但本篇暂且到此为止，何以这个牛顿公式是一个幻想式的命题，另外两个有趣的命题其趣究在何方？且待下篇再续。2020/01/03