B树、B-树、B+树 MySql中的索引

B树

B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

二叉搜索树

先介绍下二叉搜索树

1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
2. 所有结点存储一个关键字；

3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

   
   
   

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• 二叉搜索树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
• 如果二叉搜索树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变二叉搜索树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销。

如图：

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二叉搜索树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：如图：
如图：

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• 右边也是一个二叉搜索树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用二叉搜索树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；
• 实际使用的二叉搜索树都是在原二叉搜索树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在二叉搜索树中插入和删除结点的策略；

B树（B-树）

B树是一种平衡的多路搜索树， 结点最大的孩子数目称为B树的阶。一个m阶B树具有如下属性：

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2. 根结点的儿子数为[2, M]（即：如果根节点不是叶节点，则最少有两个孩子）；
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字，因为父节点满之后进行拆分）
5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8. 所有叶子结点位于同一层；

如图

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B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

5. 自动层次控制；
   由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

   
   
   

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其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题； 由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

1. 其定义基本与B-树同，除了：
2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
4. 为所有叶子结点增加一个链指针；
5. 所有关键字都在叶子结点出现；

如图：

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B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2. 不可能在非叶子结点命中；
3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4. 更适合文件索引系统；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

小结

• 二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
• B（B-）树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
• B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

MySql中的索引

MySQL中普遍使用B+Tree做索引，但在实现上又根据聚簇索引和非聚簇索引而不同。

聚簇索引

所谓聚簇索引，就是指主索引文件和数据文件为同一份文件，聚簇索引主要用在Innodb存储引擎中。在该索引实现方式中B+Tree的叶子节点上的data就是数据本身，key为主键，如果是一般索引的话，data便会指向对应的主索引。

在B+Tree的每个叶子节点增加一个指向相邻叶子节点的指针，就形成了带有顺序访问指针的B+Tree。做这个优化的目的是为了提高区间访问的性能，例如图4中如果要查询key为从18到49的所有数据记录，当找到18后，只需顺着节点和指针顺序遍历就可以一次性访问到所有数据节点，极大提到了区间查询效率。

非聚簇索

非聚簇索引就是指B+Tree的叶子节点上的data，并不是数据本身，而是数据存放的地址。主索引和辅助索引没啥区别，只是主索引中的key一定得是唯一的。主要用在MyISAM存储引擎中。非聚簇索引比聚簇索引多了一次读取数据的IO操作，所以查找性能上会差。

为什么选用B+/-Tree## 为什么选用B+/-Tree

一般来说，索引本身也很大，不可能全部存储在内存中，因此索引往往以索引文件的形式存储的磁盘上。这样的话，索引查找过程中就要产生磁盘I/O消耗，相对于内存存取，I/O存取的消耗要高几个数量级，所以评价一个数据结构作为索引的优劣最重要的指标就是在查找过程中磁盘I/O操作次数的渐进复杂度。换句话说，索引的结构组织要尽量减少查找过程中磁盘I/O的存取次数。

简单点说说内存读取，内存是由一系列的存储单元组成的，每个存储单元存储固定大小的数据，且有一个唯一地址。当需要读内存时，将地址信号放到地址总线上传给内存，内存解析信号并定位到存储单元，然后把该存储单元上的数据放到数据总线上，回传。

写内存时，系统将要写入的数据和单元地址分别放到数据总线和地址总线上，内存读取两个总线的内容，做相应的写操作。

内存存取效率，跟次数有关，先读取A数据还是后读取A数据不会影响存取效率。而磁盘存取就不一样了，磁盘I/O涉及机械操作。磁盘是由大小相同且同轴的圆形盘片组成，磁盘可以转动(各个磁盘须同时转动)。磁盘的一侧有磁头支架，磁头支架固定了一组磁头，每个磁头负责存取一个磁盘的内容。磁头不动，磁盘转动，但磁臂可以前后动，用于读取不同磁道上的数据。磁道就是以盘片为中心划分出来的一系列同心环(如图标红那圈)。磁道又划分为一个个小段，叫扇区，是磁盘的最小存储单元。

磁盘读取时，系统将数据逻辑地址传给磁盘，磁盘的控制电路会解析出物理地址，即哪个磁道哪个扇区。于是磁头需要前后移动到对应的磁道，消耗的时间叫寻道时间，然后磁盘旋转将对应的扇区转到磁头下，消耗的时间叫旋转时间。所以，适当的操作顺序和数据存放可以减少寻道时间和旋转时间。
为了尽量减少I/O操作，磁盘读取每次都会预读，大小通常为页的整数倍。即使只需要读取一个字节，磁盘也会读取一页的数据(通常为4K)放入内存，内存与磁盘以页为单位交换数据。因为局部性原理认为，通常一个数据被用到，其附近的数据也会立马被用到。

B-Tree：如果一次检索需要访问4个节点，系统设计者利用磁盘预读原理，把节点的大小设计为一个页，那读取一个节点只需要一次I/O操作，完成这次检索操作，最多需要3次I/O(根节点常驻内存)。数据记录越小，每个节点存放的数据就越多，树的高度也就越小，I/O操作就少了，检索效率也就上去了。

B+Tree：非叶子节点只存key，大大滴减少了非叶子节点的大小，那么每个节点就可以存放更多的记录，树更矮了，I/O操作更少了。所以B+Tree拥有更好的性能。