概率论与数理统计学习总结（浙大第四版 第一章）
第一章 概率论的基本概念
1. 随机试验
2. 样本空间、随机事件
3. 频率与概率
4. 等可能概型（古典概型）
5. 条件概率
6. 独立性
7. 小结
1. 随机试验
随机试验：可以在相同的条件下进行；每次实验的可能结果不止一个，并且能够事先明确试验的所以可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现；
本书中所提到的试验都是随机试验。
2. 样本空间、随机事件
（1）将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的每个元素，即E的每个结果，称为样本点；
（2）一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生（由一个样本点组成的单点集，称为基本事件，例如骰子的6个基本事件{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}）；
（3）样本空间S包含所有的样本点，他是S的自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。空集
不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，
（4）事件间的关系运算
事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中的集合之间的关系和集合运算来处理。
设事件E的样本空间为S，而A，B，
=(k=1,2,...）是S的子集。
1.若
,则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。若A=B，则称事件A与事件B相等。
2.事件
{
}称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件
发生。类似地，称
为n个事件
,
...,
的和事件；称
3.事件
= {
}称为事件A与事件B的积事件，当且仅当A，B同时发生时，事件
类似地，称
为n个事件
4.事件A - B = {
}称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生，B不发生时事件A - B发生。
5.若
6.若
。
（5）在进行事件运算时，经常用的定律：
设A，B，C为事件，则有
交换律：
;
。
结合律：
;
。
分配律：
;
;
德摩根律：
;
。
3. 频率与概率
频率描述事件发生的频繁程度，概率表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数。
（1）相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数
称为事件A发生的频数，比值
。
频率具有的基本性质：
;
; 若
大量试验证实，当重复试验的次数n逐渐增大时，频率
（2）设E是随机试验，S是样本空间。对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(.)满足下列条件：
1. 非负性：对于每一个事件A，有
;
2. 规范性：对于必然事件S，有
；
3. 可列可加性： 设
=
有
。
注：当
时频率
。基于这一事实，我们有理由将概率
（3）由概率定义，推得概率的一些重要性质。
1.
2. (有限可加性）若
3. 设A，B是两个事件，若
;
4. 对于任一事件A，
5.（逆事件的概率） 对于任一事件A，有
6.（加法公式）对于任意两事件A，B有
加法公式推广：
。
4. 等可能概型（古典概型）
（1）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素；试验中每个基本事件发生的可能性相同。它在概率论发展初期是主要的研究对象，所以也称为古典概型。
（2）若事件A包含k个基本事件，即
,这里
,
,...
是1,2，...n中某k个不同的数，则有
（3）超几何分布概率公式：
设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(
)件次品的概率是多少？
（4）概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的（称之为实际推断原理）。
5. 条件概率
（1）设A，B是两个事件，且
，称
为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
性质：
1. 非负性： 对于每一个事件B，有
；
2. 规范性： 对于必然事件S，有
；
3. 可列可加性： 设
，
...是两两互不相容的事件，则有
注：条件概率满足上述三个条件，所以对第三讲中的概率所证明的一些重要结果都适用，如：
（2）乘法定理
设
（乘法公式）
推广
一般，设
，且
，则有
（3）全概率公式和贝叶斯公式
1. 设S为试验E的样本空间，
为E的一组事件，若
；
,
则称
若
2. 全概率公式（先验概率）：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，
,则
3. 贝叶斯公式（后验概率）：
设试验E的样本空间为S，A为E的事件，
,则
4. 特别地，当n=2时，将
，那么全概率公式和贝叶斯公式可以写为：
;
,
这是两个常用公式。
6. 独立性
定义 设A，B是两事件，如果满足等式
,
则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。
容易知道，若
，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。
定理一 设A，B是两事件，且
，若A，B相互独立，则
，反之亦然。
定理二 若事件A与B相互对立，则下列各对事件也相互独立
与
,
独立性概念推广到三个事件的情况
定义 设A，B，C是三个事件，如果满足等式
,
,
,
,
则称事件A，B，C相互对立。
一般，设
个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，...，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件
由定义得出推论
1. 若事件
个事件也是相互独立的。
2. 若n个事件
7. 小结
随机试验的全部可能结果组成的集合S称为样本空间；样本空间S的子集称为事件，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生；事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合的运算来处理。
在一次试验中，一个事件（出必然事件与不可能事件外）可能发生有可能不发生，其发生的可能性大小是客观存在的；概率三个基本性质：非负性，规范性，可列可加性；对于古典概型来说，对于每个事件A给出了概率
。
条件概率公式：
，两种计算条件概率的方法：（1）按条件概率的含义，直接求出
。注意到，在求
。（2）在S中计算
及
，在按条件概率公式求得
乘法公式：
，可使用上述第一种方法求出条件概率，从而求得
事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念。在实际应用中，，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来验证而是根据实际意义来加以判断的。