高数 07.06 多元函数的极值及其求法
§第七章第六节多元函数的极值及其求法
一、二元函数的极值的概念
二、二元函数极值存在的充分必要条件
三、二元函数极值
一、二元函数的极值
定义：若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0))则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
例如:z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值;z=−x2+y2−−−−−−√在(0,0)有极大值;z=xy在(0,0)无极值
二、二元函数极值存在的充分必要条件
定理1.(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数,且在该点取得极值,则有f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0
证:因z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值,故z=f(x,y0)在x=x0取得极值,z=f(x0,y)在y=y0取得极值,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明：使偏导数都为0的点为驻点
但是，驻点不一定是极值点
定理2.(充分条件)若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0令A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,xy)
则：1)当AC−B2>0时,具有极值{A<0时取极大值;A>0时取极小值
2)当AC−B2<0时,没有极值.
3)当AC−B2=0时,不能确定，需另行讨论
三、二元函数极值
例1.求f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9x的极值
解:第一步:求驻点
解方程组{fx(x,y)=3x2+6x−9=0fy(x,y)=−3y2+6y=0
得驻点(1,0),(1,2),(−3,0),(−3,2)
第二步:判别.求二阶偏导数fxx(x,y)=6x+6fxy(x,y)=0fyy(x,y)=−6y+6在点(1,0)处,A=12,B=0,C=6,AC−B2=12×6>0,A>0,∴f(1,0)=−5为极小值在点(1,2)处,A=12,B=0,C=−6,AC−B2=12×(−6)<0,无极值,在点(−3,0)处,A=−12,B=0,C=6,AC−B2=−12×6<0,无极值,在点(−3,2)处,A=−12,B=0,C=−6,AC−B2=(−12)×(−6)>0,A<0,∴f(−3,2)=31为极大值
例2.讨论函数z=x3+y3及z=x2+y2)2在点(0,0)是否取得极值.
解:显然(0,0)是它们的驻点,并且在(0,0)都有AC−B2=0z=x3+y3在(0,0)点邻域内的取值可能为正、负、零，因此z(0,0)不是极值.当x2+y2≠0时,z=(x2+y2)2>z|(0,0)=0因此z(0,0)=(x2+y2)2|(0,0)=0是极小值.
例3.讨论函数z=x3+y3−3(x2+y2)的极值点,并说明是极大值还是极小值.
解:有方程组∂z∂x=3x2−6x=0,∂z∂y=3y2−6y=0,解得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)A=fxx=6x−6,B=fxy=0,C=fyy=6y−6对于点(0,0),A=−6,B=0,C=−6AC−B2=36>0,A<0,z|(0,0)=0是极大值点对于点(0,2),A=−6,B=0,C=6AC−B2=−36<0,不是极值点对于点(2,0),A=6,B=0,C=−6AC−B2=−36<0,不是极值点对于点(2,2),A=6,B=0,C=6AC−B2=36>0,A>0,z|(2,2)=−8,是极小值点
内容小结
函数的极值问题
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.
如对二元函数z=f(x,y),即解方程组
{fx(x,y)=0fy(x,y)=0
第二步 利用充分条件，判断驻点是否为极值点.