矩阵快速幂的系数矩阵

参考博客1

问题： 对于$f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\ge 3)$，已知$f_1,f_2$，求解$f_n(n\le 10^{18})$，由于结果可能过大，答案对$10^9+7$取模
显然这个问题没法在$O(n)$复杂度内解决，所以我们另寻他法。

系数矩阵及推导：
我们从最熟悉的$Fibonacci$入手
$f_1=1,f_2=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2},(i\ge 3)$
将$Fibonacci$通式写成上面式子的模样，得到$f_i=1\cdot f_{i-1}+1\cdot f_{i-2}$
初始矩阵为：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\end{array}\right]$$
想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i-1}\end{array}\right]$$
那么初始矩阵必然左乘一个$2\times 2$的系数矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\\ k_3{k}_4\end{array}\right]$$
这样得到的矩阵为：

$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\\ k_3{k}_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1{f}_{i-1}+k_2{f}_{i-2}\\ k_3{f}_{i-1}+k4f_{i-2}\end{array}\right]$$
由我们写成标准形式的$Fibonacci$式得到：
$k_1=1,k_2=1$
$k_3{f}_{i-1}+k4f_{i-1}=f_{i-2}$，故$k_3=1,k_4=0$
$Fibonacci$通项的系数矩阵即：
$$\left[\begin{array}{c}11\\ 10\end{array}\right]$$

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回到我们的问题所给通项：$f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\ge 3)$
初始矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\\ C\end{array}\right]$$
想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i-1}\\ C\end{array}\right]$$
那么初始矩阵必然左乘一个$3\times 3$的系数矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2{k}_3\\ k_4{k}_5{k}_6\\ k_7{k}_8{k}_9\end{array}\right]$$
这样得到的矩阵为：

$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2{k}_3\\ k_4{k}_5{k}_6\\ k_7{k}_8{k}_9\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\\ C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1{f}_{i-1}+k_2{f}_{i-2}+k_{3}C\\ k_4{f}_{i-1}+k_5{f}_{i-2}+k_{6}C\\ k_7{f}_{i-1}+k_8{f}_{i-2}+k_{9}C\end{array}\right]$$
由问题给定的通项：$f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\ge 3)$
$f_i=k_1{f}_{i-1}+k_2{f}_{i-2}+k_{3}C=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C$
故$k_1=A,k_2=B,k_3=1$
$f_i-1=k_4{f}_{i-1}+k_5{f}_{i-2}+k_{6}C$
故$k_4=1,k_2=k_3=0$
$C=k_7{f}_{i-1}+k_8{f}_{i-2}+k_{9}C$
故$k_7=k_8=0,k_9=1$
系数矩阵为：
$$\left[\begin{array}{c}AB1\\ 100\\ 001\end{array}\right]$$

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思考： $f_i=c^i-f_{i-1}$的矩阵形式
解法：
初始矩阵为：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ c^{i-1}\end{array}\right]$$
这里需要上述标准式不同的是，你要想到第$i-1$项中$c$的指数为多少，为$i-1$，故初始矩阵和标准式不完全相同，同时我们求的是$f_i$，所以其不能加上负号，负号都是丢到系数上的。

想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ c^i\end{array}\right]$$
那么初始矩阵必然左乘一个$2\times 2$的系数矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\\ k_3{k}_4\end{array}\right]$$
这样得到的矩阵为：

$$\left[\begin{array}{c}{k}_1{k}_2\\ k_3{k}_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ c^{i-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1{f}_{i-1}+k_2{c}^{i-1}\\ k_3{f}_{i-1}+k_4{c}^{i-1}\end{array}\right]$$
由$k_1{f}_{i-1}+k_2{c}^{i-1}=f_i$，故$k_1=-1,k_2=c$
由$k_3{f}_{i-1}+k_4{c}^{i-1}=c^i$，故$k_3=0,k_4=c$
系数矩阵：
$$\left[\begin{array}{c}-1c\\ 0c\end{array}\right]$$

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矩阵快速幂：
设$F_n$为所求的第$n$项的矩阵形式，$A$为系数矩阵：
那么$F_n=A{F}_{n-1}=A^2{F}_{n-2}=...=A^{n-1}{F}_1$
$A^{n-1}$这个系数部分可以直接通过快速幂计算得到，最后再乘上初始矩阵即可。
注：初始矩阵一般都是给定的数值。
最后我们直接取出$F_n$矩阵中的对应的$f_n$即可。

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例题自取