数据结构 第八章 高级搜索树(伸展树 B-树 红黑树)

伸展树

二叉搜索树数据访问局部特性：
1.刚刚被访问的结点，极有可能在不久之后再次被访问
2.将被访问的下一结点，极有可能就处在不久之前被访问的某个结点附近
伸展树：将二叉树刚刚被访问的结点“转移”到树根，即可加速访问操作
双层伸展：
1.子孙异侧：zig-zag或者zag-zig，子结点和孙结点分别为左右孩子，类似于AVL树的双旋调整

2.子孙同侧：zig-zig或zag-zag，子结点和孙结点同为左节点或者右节点，此时旋转顺序应该为祖结点g->父节点p->孙结点v
1.伸展树在查找操作后需要将查找点或者hot点伸展为根结点，这使得伸展树的查找操作不再为静态操作
2.无需记录结点的高度和平衡因子
3.分摊复杂度为log(n)，与AVL树相当
4.对单次效率十分敏感的不能采用伸展树结构,如自动手术程序

B-树

多级存储系统中使用B-树，可针对外部查找，大大减少I/O的数目
m阶B-树，即m路平衡搜索树，所有叶节点深度统一，所有外部结点(叶节点不存在的孩子)深度统一
将多代结点合并成为一个大节点，形成B-树

B-树 查找

只需要将必须的结点载入内存，减少I/O的次数。例如查找49，先把根结点载入内存，查找失败，则顺着左引用将[19,36]结点载入内存并查找，再顺着右分支查找[38,4，49,51]结点

对于有N个关键码的m阶B-树的每次查找操作，耗时不超过O(logmN)

B-树 插入(上溢)

B-树每个结点至少2个关键字，至多m-1个关键字，插入结点可能会造成上溢，此时需要分裂
发生上溢时，把发生上溢的结点的中位关键码插入到其父节点中，并将以该中位关键码为分界的两端作为插入到父节点的两个孩子；若父节点依然发生上溢，则父节点继续分裂，若一直分裂到根结点，则提取中位关键码作为新的根结点，树的高度+1

B-树 删除(下溢)

B-树每个结点至少2个关键字，删除结点可能会造成下溢,两种方法解决下溢问题
1.旋转：先向父节点借一个关键码，再将兄弟结点的关键码移给父节点
2.合并：当发生下溢结点的兄弟结点不可借出，则将父节点的关键码下移，再将两个子节点合并

总结：
B-树水平方向对应结点内部搜索，是在内存中进行，速度非常快；垂直方向是在磁盘中进行，树中每下降一层都需要进行一次I/O操作，B-树形态为矮且宽，用于达到最优速度。

红黑树

任何操作(插入或删除)引发的结构变化量不超过O(1)
红黑树需要统一增设外部结点NULL，使之称为真二叉树(所有结点度数要么为2要么为0)：
1.树根必须为黑色
2.外部结点均为黑色
3.其余节点：若为红，则只能为黑孩子(红结点的孩子和父亲都必须是黑的，不可能有父子同为红)
4.外部结点到根：途中黑结点数目相等
(2,4)-树等价于红黑树，(2,4)意思是每个结点至少有两个子节点，至多有四个子节点
提升红黑树的红结点使之与其黑父结点等高，于是每棵红黑树都对应于(2,4)-树

红黑树 插入(双红缺陷)

理解红黑树时要当做一棵B-树来理解
双红缺陷：新插入的X结点和其父节点P均为红色，此时根据X的叔结点u，分两种颜色分别处理

1.当X的叔结点u为黑色
S1：参照AVL树算法，做局部3+4重构
S2：染色：中间结点b转黑，a或c转红，这是因为红黑树超级结点中的中间点必须为黑色，因为该结点等价于B-树中的父节点，不能出现父子同红

2.当X的叔结点u为红色
此时，在等价的B-树中相当于发生了上溢

S1：把中位关键码g上移为父节点，并以g为界分裂结点
S2：将g染红，将p和u染黑
双红修复：
1.最多O(logn)次结点染色
2.一次3+4重构

红黑树 删除(双黑缺陷)

双黑缺陷：当删除点X和其替代者r均为黑色，此时需考察X的父亲结点p和兄弟结点s
1.s为黑，且至少有一个红孩子t：
进行3+4重构，r保持黑，a，c染黑，b继承p的原色(此时等效于B-树发生下溢时采取的旋转操作)

2.s为黑，s的两个孩子都为黑，p为红：
r保持黑；s转红，p转黑(此时等效于B-树发生下溢时采取的合并操作)

3.s为黑，s的两个孩子都为黑，p为黑：(此时等效于B-树发生下溢时采取的合并操作)
s转红，r与p保持黑

4.s为红
zag§或zig§,红s转黑，黑p转红，则可转化为之前的三种情况再做处理