蓝桥杯 算法训练 进制转换

负进制问题

问题描述

　　我们可以用这样的方式来表示一个十进制数： 将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置的（值减１）为指数，以１０为底数的幂之和的形式。例如：１２３可表示为 １＊１０２＋２＊１０１＋３＊１００这样的形式。
　　与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置的（值－１）为指数，以２为底数的幂之和的形式。一般说来，任何一个正整数Ｒ或一个负整数－Ｒ都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以Ｒ或－Ｒ为基数，则需要用到的数码为 ０，１，．．．．Ｒ－１。例如，当Ｒ＝７时，所需用到的数码是０，１，２，３，４，５和６，这与其是Ｒ或－Ｒ无关。如果作为基数的数绝对值超过１０，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于９的数码。例如对１６进制数来说，用Ａ表示１０，用Ｂ表示１１，用Ｃ表示１２，用Ｄ表示１３，用Ｅ表示１４，用Ｆ表示１５。
　　在负进制数中是用－Ｒ 作为基数，例如－１５（十进制）相当于１１０００１（－２进制），并且它可以被表示为２的幂级数的和数：
　　１１０００１＝１＊（－２）５＋１＊（－２）４＋０＊（－２）３＋０＊（－２）２＋
　　０＊（－２）１ ＋１＊（－２）０
　　 设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数, 并将此十进制数转换为此负进制下的数： －Ｒ∈｛－２，－３，－４，．．．，－２０｝

输入格式
　　一行两个数，第一个是十进制数Ｎ（－32768＜＝Ｎ＜＝32767）， 第二个是负进制数的基数－Ｒ。

输出格式
　　输出所求负进制数及其基数，若此基数超过１０，则参照１６进制的方式处理。（格式参照样例）
样例

输入1
　　30000 -2

样例输出

30000=11011010101110000(base-2)

---

样例输入

-20000 -2

样例输出

-20000=1111011000100000(base-2)

分析

这是一道负进制的问题。显然要用到辗转相除法，此题的难点就在于模运算上！！！！

负进制的运算和整数一致:MOD=N-(N/MOD)*MOD

特殊之处在于，对负数取模，得到的余数可能比模要大！！！！比如-7%-2=-1 （-7-(-7)/(-2)*(-2)=-7-3*(-2)=-7+6=-1）,根据题意可以看到，每个数位上都是整数，因此我们要让每次取余得到的都是正数

数学推导过程如下：

被除数=商*除数+余数

           =商*除数+除数+余数-除数

           =(商+1)*除数+(余数-除数)

请关注第一行和第三行：

如果余数为正，直接采用第一行的公式；

如果余数为负，使用第一行的公式行不通，第三行中，余数-除数，在都是负数的条件下，为正数！！！！这样就相当于从商上借了一个除数，这样就保证了余数为正。

代码实现就很简单了

#include
using namespace std;

int N,R;

int main() {
    cin >> N >> R;
    cout << N << "=";
    stack si;
    while (N) {
        int mod = N%R;
        N/=R;
        if(mod<0) {
            mod=mod-R;
            N++;
        }
        si.push(mod);
    }
    char data[]="0123456789ABCDEFGHIJ";
    while (!si.empty()) {
        cout << data[si.top()];
        si.pop();
    }
    cout << "(base" << R << ")";
    cout << endl;
}