迪杰斯特拉算法详解

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

应用场景-最短路径问题

看一个应用场景和问题：

战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
问：如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?
如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)
从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径

更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

结合代码的分析过程

这里以C为出发点
我们首先定义一个dis数组
visited 数组记录是否被访问过
第一步 我们将C点到各个的顶点的距离放入到dis数组中 （dis数组始终代表的是以C顶点到各个路径的距离 我们就是修改这个数组）

dis：7 N 0 N 8 N N
我们遍历dis数组 寻找距离c点距离最近的顶点 这时候返回坐标0 也就是我们的A顶点

取出A顶点到各个顶点的距离

A: 0 5 7 N N N 2
此时遍历A的距离数组 我们找出 dis（C）以A为中间节点 和 C 到各个顶点距离比较 例如 C到 B为N 而以 A为中间节点 我们得到 7+5 dis： 7 12 0 N 8 N 9
我们将A顶点标记为已访问
我们遍历dis数组寻找距离C顶点最近的顶点 返回坐标 4 即我们的E顶点 （因为距离7的A顶点 我们已经标记访问过了）
我们取出G顶点到各个顶点的距离

E: N N 8 N N 5 4

此时遍历E的距离数组 我们找出 dis（C）以E为中间节点 和 C 到各个顶点距离比较 例如 C到 F为N 而以 E为中间节点 我们得到 8+5 <13 我们修改 dis数组的中的值 与上面类似

dis: 7 12 0 N 8 13 9
我们将 E标记为访问过
我们遍历dis数组寻找距离C顶点最近的顶点 返回坐标 6 即我们的G顶点 （因为距离7,8的A,E顶点 我们已经标记访问过了）

G: 2 3 N N 4 6 N

此时遍历G的距离数组 我们找出 dis（C）以G等为中间节点 和 C 到各个顶点距离比较 例如 C到 F为N 而以 E为中间节点 我们得到 8+5 <13 我们修改 dis数组的中的值 与上面类似

dis ： 7 12 0 N 8 13 9

B : 5 N N 9 N N 3
以此下去
分别是
dis ： 7 12 0 21 8 13 9

F : N N N 4 5 N 6

dis ： 7 12 0 17 8 13 9

C : 7 N N N 8 N N

dis ： 7 12 0 21 8 13 9

代码实现：

public class DijkstraAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
		//邻接矩阵
		int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
		final int N = 65535;// 表示不可以连接
		matrix[0]=new int[]{N,5,7,N,N,N,2};  
        matrix[1]=new int[]{5,N,N,9,N,N,3};  
        matrix[2]=new int[]{7,N,N,N,8,N,N};  
        matrix[3]=new int[]{N,9,N,N,N,4,N};  
        matrix[4]=new int[]{N,N,8,N,N,5,4};  
        matrix[5]=new int[]{N,N,N,4,5,N,6};  
        matrix[6]=new int[]{2,3,N,N,4,6,N};
        //创建 Graph对象
        Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
        //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok
        graph.showGraph();
        //测试迪杰斯特拉算法
        graph.dsj(2);//C
        graph.showDijkstra();
        
        
	}

}

class Graph {
	private char[] vertex; // 顶点数组
	private int[][] matrix; // 邻接矩阵
	private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合

	// 构造器
	public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
		this.vertex = vertex;
		this.matrix = matrix;
	}
	
	//显示结果
	public void showDijkstra() {
		vv.show();
	}

	// 显示图
	public void showGraph() {
		for (int[] link : matrix) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//迪杰斯特拉算法实现
	/**
	 * 
	 * @param index 表示出发顶点对应的下标
	 */
	public void dsj(int index) {
		vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
		update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
		for(int j = 1; j