Spline导数及曲率计算

1 概述

    曲率的公式为：

    因此求曲率的重点在于获得拟合曲线的一阶导数和二阶导数。

2 Matlab中的实现

2.1 实例1

    根据参考资料[5]的提示，可以使用csape()对离散点进行Spline插值，然后使用fnder()对得到Spline曲线求导，最后使用fnval()对导数求值即可。

%% 原数据
x = 0 : 0.1 : 2 * pi;
y = sin(x);
plot(x, y, 'o')

%% spline拟合
pp = csape(x, y);

%% 拟合图
hold on
plot( x, fnval(pp, x), 'g' );

%% 求导
pp1 = fnval(fnder(pp, 1), x); %求一阶导
pp2 = fnval(fnder(pp, 2), x); %求二阶导
 
%% 曲率，K = |y''| / ((1 + y'^2)^(3/2))
curvature = abs(pp2) ./ sqrt( (1 + pp1 .^ 2) .^ 3 );

%% 曲率图
hold on
plot( x, curvature, 'r' );

%% 图例
legend('原始散点', 'Spline拟合结果', '曲率图');  

%% 显示网格
grid on

    上述代码的运行结果如下图所示：

2.2 实例2

    参考资料[11]给出了另外一个实例：

%% 原始数据点
xx=[-1  0  3  5  8  9 ];
yy=[1  7  -4  0  7  3  ];    %给定6个点

%% spline拟合
sp = spline(xx,yy);    % spline(x,y)  曲线插值    

x = xx(1):0.01:xx(length(xx));      %通常取x(1)至x(n)
y = ppval(x,sp);                     % ppval( , )   分段多项式的值  y的值变为数组y（）

subplot(311)
for i=1:length(xx)
    plot(xx(i), yy(i),'b*') 
    hold on
end
plot(x,y,'r');
grid on
title('B样条插值曲线')

%% 斜率计算
for i=1:(length(x)-1)
   dx(i)=x(i+1)-x(i);
   dy(i)=y(i+1)-y(i);              % 离散一次导（相当于连续一次导数）
   dddy(i)= dy(i)/dx(i);
end


%% 曲率计算
for i = 1 : (length(x)-2)
   ddx(i) = dx(i+1) - dx(i);
   ddy(i) = dy(i+1) - dy(i);      % 离散二次差分(相当于连续二次导)
   K(i)=(dx(i)*ddy(i)-dy(i)*ddx(i))/((dx(i)*dx(i)+dy(i)*dy(i))^1.5); % 曲率
end   

subplot(312) 
ud=linspace(xx(1),xx(length(xx)),(length(x)-1));
plot(ud,dddy)
grid on
title('曲线斜率变化图')

subplot(313)
uu=linspace(xx(1),xx(length(xx)),(length(x)-2));
plot(uu,K)
grid on
title('曲线曲率变化图')

    上述代码执行效果如下图：

参考资料

[1]三次B样条曲率与导数算法Matlab代码 

[2]样条曲线

[3]B样条曲线曲率简易求解算法

[4]如何用matlab提取曲线各点曲率

[5]如何得到matlab三次样条曲线插值（csape）之后得到的拟合曲线的曲率图

[6]用matlab求出最小曲率半径曲线方程实例

[7]对离散样点做三次样条曲率计算和求导的matlab程序

[8]知道一些坐标，怎么用matlab画出曲线并计算出曲线的曲率

[9]计算曲率

[10]用MATLAB求曲线在某一点的曲率

[11]对给定的离散点，先拟合成B样条曲线，再求B样条曲线曲率

[12]Curvature of a spline

[13]Curvature of Approximating Curve Subdivision Schemes