深入浅出 “三门问题”

在微博上看了李永乐老师关于“三门问题”的讲解，顿时明白了许多。虽然之前在人工智能课上老师也讲了用贝叶斯公式求解“三门问题”，但我发现问题的难点不在于概率公式的推导，而在于对问题的理解。

问题描述

在这个游戏节目中，有三道门，其中有两扇门后面是羊，另外一扇门后面是汽车，得到汽车即视为获奖。你先选择了一道门（还没打开），主持人知道三道门后面是什么，于是打开了另外一道门，这时问你是否要改变之前的选择，如何决策才能增加获奖率？

A	B	C
车	羊	羊

分析

游戏可以总结为三个步骤：

1. 选手指定一扇门；
2. 主持人打开另一扇门（由于主持人事先知道门后面是什么，所以不会打开藏有汽车的门）；
3. 选手决策，坚持原来的选择或者选择另外一扇没有打开的门。

我们先计算选手坚持原来的选择中奖的概率：

坚持原来的选择，那么概率就与主持人无关，  .

然后计算改变选择中奖的概率：

会有以下三种情况：
 

A（车）	B（羊）	C（羊）
指定	主持人	换
换	指定	主持人
换	主持人	指定

显然，改变选择中奖的概率    。

所以，改变选择中奖的概率更大一些。

思考

如果是四扇门呢？

情况较多，以下只列出指定车和指定羊的一种情况：

A（车）	B（羊）	C（羊）	D（羊）
指定	主持人	换
指定	主持人		换
换	指定	主持人
	指定	主持人	换

指定车时，主持人可选B，C，D，共有2*3=6种情况。指定羊时，共有2*3*2=12种情况。

    （此处有误，请看后面的更新）

仍然是换的中奖率大。

实际上，由于主持人不会打开藏有汽车的门，就相当于帮我们排除了一个选项，无论有多少扇门，选择换的中奖率总是要大一些。

 

更新

感谢指正，之前的四门算错了，这里列出全部可能结果（改变选择）：

编号	A（车）	B（羊）	C（羊）	D（羊）	中奖
1	指定	主持人	换
2	指定	主持人		换
3	指定	换	主持人
4	指定		主持人	换
5	指定	换		主持人
6	指定		换	主持人
7	换	指定	主持人		√
8		指定	主持人	换
9	换	指定		主持人	√
10		指定	换	主持人
11	换		指定	主持人	√
12		换	指定	主持人
13	换	主持人	指定		√
14		主持人	指定	换
15	换	主持人		指定	√
16		主持人	换	指定
17	换		主持人	指定	√
18		换	主持人	指定

       这里有一个问题，第一次选车的概率是1/4，选羊的概率是3/4。但是由于主持人不会选放有车的那扇门，导致第一次选车有6种不同的结果（均不中奖），第一次选羊有12种不同的结果（有6种中奖）。所以每种结果的概率并不是全部相等的，不能直接6/（6+12）来算。

       正确计算应该是

      

       如果是N扇门，不改变选择中奖的概率是，改变选择中奖的概率是

     

      中奖的概率依旧是改变选择大一些。