CF321E Ciel and Gondolas Wqs二分 四边形不等式优化dp 决策单调性

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很少遇到这么有意思的题目了。虽然很套路。。

容易想到dp \(f_{i,j}\)表示前i段分了j段的最小值 转移需要维护一个\(cost(i,j)\)

暴力显然不太行 不过暴力枚举决策的话 可以预处理前缀和线性推出。

显然想要优化决策的话第一步就需要O(1)求出\(cost(i,j)\)

经过画图 可以发现预处理出\(g[i][j]\)表示从\((1,1)\)到\((i,j)\)这个矩形中的点值和 和 \(sum_i\)表示\((1,1)\)到\((i,i)\)的点值和 就可以O(1)求值了。

观察dp转移式发现这是典型的四边形不等式优化dp 套用决策单调性 复杂度\(n\cdot k\cdot logn\)

强制k段 显然可以Wqs二分来解除限制 不过这样不太能分治做了 需要采用单调队列来做。

但存在一个问题 可能有mid的时候为k-1 mid+1的时候为k+1.

关于这个问题 通过值相等的时候分段多的方法来使上面情况合法化 最终尽管可能>=k的但是仍然可以构造出等于k的情况。

如果是小数二分的话显然不必要 因为可以精确到固定的点。

所以总复杂度\(n\cdot logMx \cdot logn\)

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