1.埃尔米特(Hermite)插值
1.1.Hermite插值多项式
如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
设已知函数在个互异节点上的函数值和导数值，要求一个至多次的多项式，使得：
满足上述条件的多项式称为Hermite多项式。
Hermite 插值多项式为：
其中：
1.2.用Matlab实现Hermite插值
Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数，必须编写一个 M 文件实现插值。
设个节点的数据以数组（已知点的横坐标），（函数值），（导数值）输入（注意 Matlat 的数组下标从 1 开始），个插值点以数组输入，输出数组为个插值。编写一个名为herite.m的M文件：
function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:m
yy=0.0;
for i=1:n
h=1.0;
a=0.0;
for j=1:n
if j~=i
h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;
a=1/(x0(i)-x0(j))+a;
end
end
yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));
end
y(k)=yy;
end
2.样条插值
许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
2.1.样条函数的概念
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间的一个分划：
如果函数满足：
（1）在每个小区间上是次多项式。
（2）在上具有
阶连续导数。
则称为关于分划的次样条函数，其图形称为次样条函数。称为样条节点，称为内节点，称为边界点，这类样条函数的全体记做，则是关于分划的次多项式样条函数。次多项式样条函数的一般形式为：
其中和均为任意常数，而：
在实际中最常用的是或3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。
二次样条函数：
对于上的分划，则：
其中：
三次样条函数：
对于上的分划，则：
其中：
利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。
2.2.二次样条函数插值
首先，我们注意到中含有个特定常数，故应需要 + n 个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：
问题（1）：
已知插值节点和相应的函数值以及端点（或）处的导数值（或），求使得：
问题（2）：
已知插值节点和相应的导数值以及端点（或）处的函数值（或），求使得：
事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。
对于问题（1）有：
引入记号为未知向量，为已知向量。
于是，问题转化为求方程组的解的问题，即可得到二次样条函数的表达式。
对于问题（2）的情况类似。
2.3.三次样条函数插值
由于中含有个待定系数。故应需要个待定系数，已知插值节点和相应的函数值，这里提供了个条件，还需要2个边界条件。
常用的三次样条函数的边界条件有 3 种类型：
（1）。由这种边界条件建立的样条插值函数称为的完备三次样条插值函数。
特别地，时，样条曲线在端点处呈水平状态。
如果不知道，我们可以要求与在端点处近似相等。这时以为节点作一个三次Newton插值多项式，以作一个三次Newton插值多项式，要求：
（2）。特别地，称为自然边界条件。
（3），（这里要求）此条件称为周期条件。
2.4.三次样条插值在Matlab中的实现
在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。
Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：
y=interp1(x0,y0,x,'spline')；
y=spline(x0,y0,x)；
pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x);
其中 x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。
对于三次样条插值，我们提倡使用函数 csape，csape 的返回值是 pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数 ppval。
pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即 Lagrange 边界条件。
pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件，其值可为：
| conds | 作用 |
|---|---|
| 'complete' | 边界为一阶导数，即默认的边界条件 |
| 'not-a-knot' | 非扭结条件 |
| 'periodic' | 周期条件 |
| 'second' | 边界为二阶导数，二阶导数的值[0,0] |
对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个矩阵来表示，conds 元素的取值为1，2。此时，使用命令：
pp=csape(x0,y0_ext,conds)
其中 y0_ext=[left, y0, right]，这里 left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。
conds(i)=j 的含义是给定端点 的 阶导数，即 conds 的第一个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，对应的值由 left 和 right 给出。
例：机床加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据给出（在平面情况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿方向和方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的坐标。
下表给出的数据数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到坐标每改变0.1时的坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，并求出处的曲线斜率和范围内的最小值。
数据表：
| 0 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.2 | 1.7 | 2.0 | 2.1 | 2.0 | 1.8 | 1.2 | 1.0 | 1.6 |
利用Matlab编程，使用Lagrange，分段线性和三次样条三种插值方法计算。
clc,clear
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];
x=0:0.1:15;
y1=lagrange(x0,y0,x); %调用前面编写的Lagrange插值函数
y2=interp1(x0,y0,x);
y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0); y4=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second'); y5=ppval(pp2,x);
fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
fprintf('x y1 y2 y3 y4 y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1)) %求x=0处的导数
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
（Lagrange函数请参见我的文章【数学建模算法】(23)插值和拟合：拉格朗日插值）