2020寒假【gmoj2417】【Loan Repayment】【二分】

题目描述

Farmer John 欠了 Bessie N 加仑牛奶（1≤N≤10¹²）。他必须在 $K$ 天内将牛奶给 Bessie。但是，他不想将牛奶太早拿出手。另一方面，他不得不在还债上有所进展，所以他必须每天给 Bessie 至少 $M$ 加仑牛奶（1≤M≤10^12）。
以下是 Farmer John 决定偿还 Bessie 的方式。首先他选择一个正整数 $X$。然后他每天都重复以下过程：

1. 假设 Farmer John 已经给了 Bessie G 加仑，计算 $(N-G)/X$ 向下取整。令这个数为 $Y$。
2. 如果 Y 小于 M，令 Y 等于 M。
3. 给 Bessie Y 加仑牛奶。
   求 X 的最大值，使得 Farmer John 按照上述过程能够在 K 天后给 Bessie 至少 N 加仑牛奶 （1≤K≤10^12）。

输入
输入仅有一行，包含三个空格分隔的正整数 N、K 和 M，满足 $K\cdot M<N$。
注意这个问题涉及到的整数规模需要使用 64 位整数类型（例如，C/C++ 中的“long long”）。

输出

输出最大的正整数 X，使得按照上述过程 Farmer John 会给 Bessie 至少 N 加仑牛奶。

样例输入

10 3 3

样例输出

2

数据范围限制

测试点 1-3 满足 K≤10^5。
测试点 4-10 没有额外限制。

提示

在这个测试用例中，当 X=2 时 Farmer John 第一天给 Bessie 5 加仑，后两天每天给 Bessie M=3 加仑。

分析

这部分摘自KJ大佬的blog，在此%一下。
首先一定是二分$x$ ，不必多说但是如果真的一天天扫过去，每次$check()$是$O(k)$的，明显超时，所以在$check()$时会使用类似除法分块的方法。假设现在剩下了$r$的欠债，还剩$t$天
循环退出条件：$r⩽0\mid \mid t==0$，这时直接通过$r⩽0$的成立与否判断x的成立与否。。
那么$y=\lfloor r/x\rfloor$如果$y<=m$，那么直接就以$m$为每天的还债量，于是$r-=tm,t=0$。
否则就计算一下会有连续多少天的每日还债量是y ，假设这种情况持续a 天，那么可以知道在$a-1$ 天之后的还债量=y ，而a 天之后的还债量

上代码

#include
#include
#include
using namespace std;
long long n,k,m;
int check(long long x)
{
	long long k2=k,n2=n;
	while(1)
	{
		long long f,ff;
		f=n2/x;
		if(f<m) return m*k2>=n2;
		ff=n2/f-x+1;
		if(ff>k2) ff=k2;
		n2-=ff*f;
		k2-=ff;
		if(n2<=0) return 1;
		if(k2==0) return 0;
	}
}
int main()
{
    freopen("loan.in","r",stdin);
    freopen("loan.out","w",stdout);
    cin>>n>>k>>m;
    long long l=1,r=n,mid;
    while(l<r)
    {
    	mid=(l+r+1)/2;
    	if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}