gcd and exgcd

数论入门基础

最大公约数

问题1

给定平面上的两个格点

P1=(x1,y1)

P2=(x2,y2)

求线段P1P2上有几个格点

−109<=x1,x2,y1,y2<=109

解法1

枚举所有的合法的

min(x1,x2)<=x<=max(x1,x2)

min(y1,y2)<=y<=max(y1,y2)

判断 (x,y) 是否在线段上

数据范围大，我们需要更快的算法

解法2

假设我们从(x1,y1)出发已经找到了离它最近的一个格点P0,那么从P0出发走相同长度肯定也是一个整数格点，就这样一路找下去，最终恰好能找到(x2, y2),中间的每一段都是等长的,你可以假设最终到的点不是(x2,y2),而是延伸出去的某个点，那么显然P0就不是离(x1, y1)最近的一个格点了。
所以我们证明了一个性质

线段上的所有的整数格点恰好都在这条线段的K等分点上

要满足等分点都是整数，所以K必须为X距离和Y距离的公约数，我们需要求最大的K,所以就是两个距离的最大公约数了

求最大公约数的欧几里德算法

• 更相减损术
• 辗转相除法

这两种方法是一样的，下面是上面的优化

int gcd(int a, int b) {
    while(a != b) {
        if (a > b) {
            a -= b;
        } else {
            b -= a;
        }
    }
    return a;
}
int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

为什么这样子做是对的呢？
假设 g 为a b的某个公约数，那么对于任意一个g都有如下两个式子

a=k1∗g

b=k2∗g

a b更相减损，变的只是前面的k，无论怎么减g还是他们的约数，一直到最后两个数变成相同的，g还是他们的约数 这个时候他们相视一笑，发现原来你也在这里 也就是说

在更相减损的过程当中，所有的公约数信息都没有丢,也不会增加,跟原来一样，但是数据变小了哦，那么一直变小会发生什么呢？

对于任意一个公约数g都满足最后变成的两个相等的数为g的倍数。所以辗转相减之后的数也是最大公约数 gmx 的倍数，假设最后得到的两个数是

k1∗g

k2∗g

既然所有的公约数信息都没丢，这两个数的公约数也是原来a b的公约数，那么 k1，k2 的值必定为1，不然就存在某个比g大的公约数了，与g是最大公约数矛盾。

其实上面的辗转相减法，每次就是最大公约数的两个系数k1, k2在辗转相减，最终变成1(他们的最大公约数是1)，这个辗转相减的过程可以描述为

k1∗x+k2∗y=1

所以这个方程其实一定有解，因为刚才已经证明k1 k2辗转相减一定能得到他们的最大公约数1。

扩展欧几里得

问题

一个游戏
有向前向后无线延续的格子， 每个格子都写有整数。其中0号格子是起点， 1号格子是终点。 而骰子上只有a,b,-a,-b四个整数，所以根据a和b的值得不同，有可能无法到达终点。掷出四个整数各多少次可以到达终点？

解法

上述问题归结起来就是

a∗x+b∗y=1;

如果

gcd(a,b)!=1

,无解。
实际上一定存在整数对(x, y)使得

a∗x+b∗y=gcd(a,b)

假设已经求得了

1: b∗x′+(a%b)y′=gcd(a,b)

的整数解 (x′,y′)
将

a%b=a−(a/b)∗b;

代入可得

b∗x′+(a−(a/b)∗b)∗y′=gcd(a,b)

化简一下

2： a∗y′+b∗(x′−(a/b)∗y′)=gcd(a,b)

所以，解出了1式，就可以由2式得到原方程的解
特殊的，当b = 0时，

a∗1+b∗0=gcd(a,b)=a;

下面的代码解决 a∗x+b∗y=gcd(a,b)

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    int d = a;
    if(b != 0) {
        d = extgcd(b,  a % b,  x,  y);
        x -= (a / b) * y;
        std::swap(x,  y);
    } else {
        x = 1; y = 0; // g x+ 0 * y = g, y can be any number
    }
    return d;
}

递归算到最后y其实可以取任意整数。但是取的太大容易导致使得最后算出来的解爆int之类的事情
下面我们来看一下最终算出来的解 x0 y0 的绝对值大小情况
由x y的计算方法x -= (a / b) * y可以知道，x y始终是在max(|a|, |b|)的绝对值范围内的，因此a*x + b*y = gcd(a, b)最后算出的x y的绝对值大小跟a b是同一个级别的。
扩展欧几里德其实就是欧几里德，欧几里德其实就是辗转相减，全是一样的！

通解：