利用边长计算三角形面积 — 海伦公式推导过程

之前在计算三角形面积时使用了海伦公式
$S=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}$（p为周长的一半）
但对于如何推导出该公式，当时并不了解。现在推导一下。

假设一个普通三角形三边长分别为a、b、c，c边的高为h：

根据勾股定理，我们可以得出

$c=\sqrt{(b^2-h^2)+(a^2-h^2)}$

两边平方后整理可得：

$2c\sqrt{b^2-c^2}=b^2+c^2-a^2$

两边继续平方并整理可得
$4c^2(b^2-h^2)=(b^2+c^2-a^2{)}^2$

$b^2-h^2=\frac{(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}$

$h=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}}$

根据三角形面积公式：

$S=\frac{h\times c}{2}$

代入之前h的值

$S=\frac{c\times h}{2}$

$S=\frac{c}{2}\times \sqrt{\frac{4b^2{c}^2-(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}}$

$S=\frac{1}{4}\times \sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)\times (2bc+b^2+c^2-a^2)}$

整理得：

$S=\frac{1}{4}\times \sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}$

$S=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}$