007第四十篇：“曲线救国”—不连续变量用不了最小二乘回归咋办？ 统计学（17）

对数回归Logit regression 发生率自然对数回归 是以过去的可能性或过去的概率为因变项的回归分析，研究概率的变化。

概率：现在的可能性。

似然（likelihood）：过去的可能性。

罗列了3个概念，需要扎扎实实的搞清楚。看到以上解释，我们需要不停的转化时空观念，进入更抽象的境地。类似于概率（车辆的速度）与对数回归（加速度）的关系。其一、关于概率：站在今天位置，过去有可能发生的事情，如今有的发生了、有的没发生。换句话说今天发生的事情，过去是不确定知道的必然发生的，那个时候只有一个“似然”。其二、关于对数：日常中我们通常以百分比表示概率，如“下雨概率是60%”。对数回归中表示用的是发生率的自然对数。即：发生概率与不发生概率的比值，取自然对数。  引自—007第三十八篇：新篇章对数回归 统计学（15）

自然对数：以e（2.71828.......）为底的对数。

两分变项：变化不连续的变项，如是否经理的分类答案只能是“是（1）”或“否（0）”表示。

回到正题：

上篇文章说到，设置零假设“种族与是否经理无关”，通过显著度检验证明这样的几率＜0.001，所以推翻零假设“种族与是否经理不是无关”（注意：不是无关≠有关，因为可能还有我们不知道的因素影响结论）。作为一个反对方的辩者，在推翻种族与薪资关系赢了一局、但在种族与是否经理这局输了，一定会反驳哦。会提出询问：影响当经理不是是否少数族裔，可能是教育程度、工作经验、服务年限......。

接下来要应对询问，要解决的是在以上条件相同状况下种族对当经理概率的影响。

碰到个问题：在种族与薪资关系研究时，薪资是连续变量，用最小二乘回归解决了。但现在是否经理作为因变项是两分变项，不连续，不能使用最小二乘回归，也就不能用相应的统计控制。为了解决是非问题，只能“曲线救国”了。

一、直线的危机

再次确定一下概率思维的要点分别涉及过去、现在、未来：1、站在过去角度，现在没有发生的事情，在过去看均有可能发生，只是发生可能性有大有小。2、站在现在角度，现在已经发生的事情，并不是必须要发生，不过在过去的发生概率可能最大。3、关于未来，任何事情都可能发生，只是可能性有大小。总之，没有什么事情未来必然发生，也没有什么事情未来不可能发生。

概率有个中间值50%，不发生为0、一定发生为1，所有概率值可以无限趋近于发生或不发生，但用于不可能等于0或1。在两分变项情况下结果一样、但概率可以不同。如：赶飞机，第一次差5分钟、第二次差3分钟、第三次差1分钟，虽然都是没赶上，但赶上的概率越来越大了。

前篇计算平均年薪差别是随机的代表种族没影响，本篇代表有影响，对数回归要表现出“因为种族的原因，每个员工当经理的概率不是50%（随机产生）”

直线表示概率时，会出现概率大于1或者小于0的情况，直接线性回归出现逻辑谬误了。

二、曲线救国

指用“S”型曲线描绘概率从极小到极大的变化，既用一个近似于直线的图形标记概率从小到大的过程，又把变化限制在一定范围之内。一方面我们以概率为因变项，另一方面避免逻辑荒谬。

第一步：概率转化为发生率。比如事件发生概率（P）为0.0001、不发生（1-P）为0.9999，那么发生率（odds）=0.0001/0.9999≈0.0001。

又如事件发生概率（P）为0.5、不发生（1-P）为0.5，那么发生率（odds）=1。

这样解决了一半问题，因变项（概率）不会出现负值了。

第二步：取自然对数，解决发生率的变化与概率变化不一致的问题。

当概率分别为0.5和0.8时发生率对应为1和4；而概率由0.8变为0.9时发生率对应为4和9。概率很高时发生率变化不一致了。为了改善这种情形，采取取自然对数的方式使之对称。如概率分别为0.0001、0.5、0.9999，发生率的自然对数是-9.21、1、+9.21，这样就完美对称了。

概率完美转化后的发生率自然对数分布

经过上两步的转化，将原来线性回归解决不了的问题变为近似于的“S”的曲线表示，最终以“概率”单位测量了两项分布的数据，接下来可以运用数学方法运算结果了.......（下回分解）