〖数学算法〗逆矩阵算法

矩阵大家一定都很熟悉，它是线性代数中的一个术语，它在生产实践，科研，等各学科都有不可替代的作用，求逆矩阵当然是矩阵的一种常用操作，今天就写了个求逆矩阵的程序巩固下基本功。

首先让我们回忆一下你矩阵的定义：

逆矩阵：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

接下来我带大家回忆一下在“线性代数”中求逆矩阵的两种方法：

(以下方法来至维基百科)

1.伴随矩阵法

如果矩阵可逆，则其中是的伴随矩阵。

注意：中元素的排列特点是的第列元素是的第行元素的代数余子式。要求得即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。

2. 初等变换法

由条件以及矩阵乘法的定义可知，矩阵和都是方阵。再由条件以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵施以初等行变换（初等列变换）就相当于在的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对和施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵被变为时，就被变为的逆阵。

接下来让我们来分别看看两个实际的小题，回忆一下解法：

1.伴随矩阵法求逆矩阵：

问题：

求解过程：

解得：

2.初等变换法：

问题：

求A的逆矩阵

求解过程：

解得：

接下来我就用第二种方法，做一下第一题，代码如下：

public class NiMatrix {

	private double[][] getNiMatrix(double[][] matrix) {//求逆矩阵函数
		
		/*定义扩展矩阵*/
		double[][] expand_matrix = new double[matrix.length][matrix.length * 2];
		/*定义得到的逆矩阵*/
		double[][] new_matrix = new double[matrix.length][matrix.length];
		/*初始化扩展矩阵*/
		initExpandMatrix(matrix,expand_matrix);
		/*调整扩展矩阵，若某一列全为0，则行列式的值等于0，不存在逆矩阵*/
		boolean canAdjust = adjustMatrix(expand_matrix);
		if(false == canAdjust)//如果不存在逆矩阵，返回NULL
			return null;
		/*计算扩展矩阵*/
		calculateExpandMatrix(expand_matrix);
		/*用计算过的扩展矩阵取后面的N*N矩阵，为所求*/
		getNewMatrix(expand_matrix,new_matrix);		
		
		return new_matrix;
	}

	/*初始化扩展矩阵*/
	private void initExpandMatrix(double[][] init_matrix,double[][] expand_matrix) {
		
		for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++)
			for (int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++) {
				if (j < expand_matrix.length) {//左边的N*N矩阵原样赋值
					expand_matrix[i][j] = init_matrix[i][j];
				} else {	//右边N*N赋值为单位矩阵
					if (j == expand_matrix.length + i)//如果为右边矩阵的对角线就赋值为1
						expand_matrix[i][j] = 1;
					else
						expand_matrix[i][j] = 0;
				}
			}
		
	}

	/*调整扩展矩阵，若某一列全为0，则行列式的值等于0，不存在逆矩阵*/
	private boolean adjustMatrix(double[][] expand_matrix) {
		
		for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++) {
			if (expand_matrix[i][i] == 0) {//如果某行对角线数值为0
				int j;
				/*搜索该列其他不为0的行，如果都为0，则返回false*/
				for (j = 0; j < expand_matrix.length; j++) {

					if (expand_matrix[j][i] != 0) {//如果有不为0的行，交换这两行
						double[] temp = expand_matrix[i];
						expand_matrix[i] = expand_matrix[j];
						expand_matrix[j] = temp;
						break;
					}

				}
				if (j >= expand_matrix.length) {//没有不为0的行
					System.out.println("此矩阵没有逆矩阵");
					return false;
				}
			}
		}
		return true;
	}
	/*计算扩展矩阵*/
	private void calculateExpandMatrix(double[][] expand_matrix) {
		
		for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++) {

			double first_element = expand_matrix[i][i];

			for (int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++)

				expand_matrix[i][j] /= first_element;//将该行所有元素除以首元素
			
			/*把其他行再该列的数值都化为0*/
			for (int m = 0; m < expand_matrix.length; m++) {
				if (m == i)//遇到自己的行跳过
					continue;

				double beishu = expand_matrix[m][i];
				for (int n = 0; n < expand_matrix[i].length; n++) {				
					expand_matrix[m][n] -= expand_matrix[i][n] * beishu;
				}
			}

		}
		
	}
	/*用计算过的扩展矩阵取后面的N*N矩阵，为所求*/
	private void getNewMatrix(double[][] expand_matrix, double[][] new_matrix) {
		
		for(int i = 0; i < expand_matrix.length; i++)
			for(int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++){
				if(j >= expand_matrix.length)
					new_matrix[i][j-expand_matrix.length] = expand_matrix[i][j];
			}
		
	}

	/*打印矩阵*/
	public void printMatrix(double[][] matrix){

		for (double[] tempi : matrix) {
			for (double tempj : tempi) {
				System.out.print(tempj + "  ");
			}
			System.out.println();
		}
		
	}
	/*矩阵做乘法，验证结果*/
	private static double[][] getProductMatrix(double[][] init_matrix,
			double[][] new_matrix) {
		
		int len = init_matrix.length;
		double[][] product_matrix = new double[len][len];
		for(int i = 0; i < len; i++){
			for(int j = 0; j < len; j++)
				for(int k = 0; k < len; k++)
					product_matrix[i][j] += init_matrix[i][k] * new_matrix[k][j];
		}
		return product_matrix;
	}
	

	public static void main(String[] args) {
		
		NiMatrix _robot = new NiMatrix();
		
		System.out.println("=====原矩阵=====");
		double init_matrix[][] = { 
				{ 1, 2, -1 },
				{ 3, 4, -2 }, 
				{ 5, -4, 1 } 
			};
		_robot.printMatrix(init_matrix);
		
		System.out.println("=====逆矩阵=====");
		double new_matrix[][] = _robot.getNiMatrix(init_matrix);
		_robot.printMatrix(new_matrix);
		
		System.out.println("=====原矩阵*逆矩阵=====");
		double[][] product_matrix = getProductMatrix(init_matrix,new_matrix);
		_robot.printMatrix(product_matrix);
	}

}

测试结果：

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