离散数学笔记

命题的基本概念

• 什么是命题：能判断其真假的陈述句。
• 命题的真值：真、假
• 命题的真值是唯一的
• 命题的分类：真命题、假命题；简单命题(原子命题)、复合命题
• 复合命题联结词：
  非（否定）
  并且（合取）
  或 （析取）
  如果…则… （蕴含）：前件(条件)，后件(结论)；条件为真，结论为假时命题为假；条件为假，结论不管真假时，由于善意的推定故命题为真。
  当且仅当（等价）：双条件真值相同，命题取真。
• 复合命题联结词的优先级：非>并且>或>如果…则…>当且仅当
• 或：兼容性和非兼容性
• 公式类型：
  重言式（永真式）：公式的真值恒为1
  矛盾式（永假式）：公式的真值恒为0
  可满足式：不是矛盾式，重言式是可满足式
• 判断公式类型使用真值表法，将所有情况罗列出来；
• 判断公式类型也可以使用等值演算法
• 成真赋值和成假赋值

命题逻辑等值演算

• 什么是等值演算：符号语言的等价推导
• 等值式：若A$<->$B为永真式，则称A,B是等价。
• 常见等值式：
  双重否定律：┐┐A⇔A
  幂等律：A∧A⇔A；A∨A⇔A
  交换律：A∨B⇔B∨A；A∧B⇔B∧A
  结合律：(A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）
  分配律：A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C）；A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）
  德摩根律：┐（A∨B）⇔┐A∧┐B；┐（A∧B）⇔┐A∨┐B
  吸收律：A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A
  零律：A∨1⇔1；A∧0⇔0
  同一律：A∨0⇔A；A∧1⇔A
  排中律：A∨┐A⇔1
  矛盾律：A∧┐A⇔0
  蕴涵等值式：A→B⇔┐A∨B
  等价等值式：A↔B⇔（A→B）∧（B→A）
  假言易位：A→B⇔┐B→┐A 命题等于逆否命题
  等价否定等值式：A↔B⇔┐A↔┐B
  归谬论：(A→B）∧（A→┐B）⇔┐A
• 命题变量（命题变元）、命题常量（命题常元）
• 什么是文字：P为任意命题变量，则P和┐P为文字
• 析取式：有限个文字的析取称为析取式(或)
• 合取式：有限个文字的合取称为合取式(且)
• 析取范式：有限个合取式的析取称为析取范式
• 合取范式：有限个析取式的合取称为合取范式
• 析取/合取范式中只含非、且、或三种符号
• 命题的析取/合取范式不唯一
• 极小项：合取式中各个变元或变元的否定当且仅当出现一次，且出现的次序保持一致。
• 极小项–成真赋值
• 主析取范式：在析取范式中每个合取式都是极小项，则称析取范式为主析取范式
• 极大项：析取式中各个变元或变元的否定当且仅当出现一次，且出现的次序保持一致。
• 极大项–成假赋值
• 主合取范式：在合取范式中每个析取式都是极大项，则称析取范式为主合取范式
• 用等值演算求主合取范式、主析取范式
• 完备集

命题逻辑的推理理论

• 推理规则
  化简规则：p∧q => p，p∧q => q
  附加规则：p=>p∨q；q=>p∨q
  假言推理：p,p→q => q
  拒取式：p→q，┐q => ┐p
  析取三段式：p∨q，┐q => q
  合取式：p,q => p∧q
  假言三段论：p→q，q→r => p→r
  等价三段论：p↔q，q↔r => p↔r
  构造性二难：p→q，r→s, p∨r => q∨s
  归结式：p∨q，┐p∨s => q∨s
• 直接证明
• 归谬论(反证法)