【数学篇】论从一题四解到分式与整式

【数学篇】论从一题四解到分式与整式

Like a sunrise ,getting better and better. 像日出一样，愈来愈好，所有的一切。
————题记

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$1.$前言

寒假的课程已经告以段落，但我仍感慨万分（心里话）。无论是对层层递进的各种题目，还是关于各种解法的奇思妙想，又或许是充满趣味的课堂，我想，应该给这期课程画一个圆满的句号，发表我对一些题目的感受。
好吧，让我们进入正题。。为了一个好开头，我太难了QWQ 。
我将从一道题目的四种解法来阐述自己的所思所想。

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$2.$从 $low$ 解到秒解——化分式为整式

题目：

• 已知：
  求证： $abc=1$

法一：大通分

• 将等式左边的三个式子通分，共 $54$ 项。交叉相乘，接着 "冰果消消乐 ",会消成 $3$ 项，我们会发现，剩下那三项竟然是一个完平！！！
  这题便解完了。
  步骤：$54$ 项——> $3$ 项——>完平
  由于法一通分工程量巨大，便不在此写步骤啦。。 好吧，其实是我懒

法二：三个不如两个好

• 三个不如两个好，说人话 ，其实就是在同分前将等式左边的一个式子移到右侧。。
  
  这样变化后，交叉相乘，从刚刚的 $54$ 项秒变 $36$ 项。我们接着 "冰果消消乐 " ，又会发现，剩下那三项竟然依然是一个完平！！！
  步骤：$36$ 项——> $3$ 项——>完平
  由于接着通分工程量依然不小，便不在此后面写具体步骤啦。。
  （$What？$这句话好像似曾相识 —— 嗯嗯，~~不要在意这些细节啦）

法三（秒解）：取倒数

• 在做完三个不如两个好后，莫着急通分，仔细观察，我们可以发现，右式中，分母有的分子都有；左式中，分母有的分子好像也都有。于是，一个想法便诞生了。三个不如两个好+取倒数。。
  
  $perfect！！$
  就这样，从上中解法的 $36$ 项秒变 $12$ 项。
  看来三个不如两个好+取倒数=无敌
  过程如上。嗯嗯~~ 我写步骤啦

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$3.$ 补 $bug$ （请勿搜题）

你真的认为法三就这么结束了？？ No，No，No。。
总感觉缺了什么，细心观察，其实步骤是有问题的。
让我们扪心自问，“能取倒数吗？？”。取倒数之前还有一个大前提，就是分母不能为0呀！
好的，让我们一起 补 $bug$。

• 若 $1+ac=0$
  则 $ac=-1$
  因 $a+ab+abc+b+ab+a{b}^2=a+2ab-b+b+a{b}^2=a(1+2b+b^2)=a(1+b{)}^2$
  所以，$b=-1$
  所以，$abc=1$

这样就完美了！可是如果我们在作XX或小猿XX等软件上搜题甚至在度娘上搜索此题，给出的解题步骤依旧没有以上的补 $bug$操作，标答这么多年都没变，一直是一个版本，是没有人去修改的，因为修改很麻烦，需要更新它的题库。所以那看似完美的答案，还有着很大的漏洞。。
据某大神讲述，在他上大学时也给搜题软件写过答案，当时写一个答案是两块钱。所以你看到的答案很可能是别人一遍玩手机一边敲出来的，这样的答案真的可信吗？？
所以，若以后有做不出的题，还是要好好自己想，或寻求专业人士的指导，不到万不得已不要搜答案，你搜到的答案有差不多$70$%及以上都是有瑕疵的

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$4.$ 神解铺垫及题目背景

据某大神讲述（是的，就是刚刚的那位），他在一本叫《解题研究》的书中，无意翻到了单遵，单爷爷（这么叫好像亲切些）的解法。好的，讲到单爷爷，我不禁想要帮大家科普科普。。凑字数jng 。

单墫：1964年扬州师范学院数学系毕业，1983年在中国科学技术大学获理学博士学位。现任南京师范大学数学与计算机科学学院教授，博士生导师，南京市十届政协委员，南京数学会理事长。曾任南京市九届政协委员，南京师范大学数学系主任，中共十四大代表，国家教委理科实验班专家组组长，中国国家数学奥林匹克代表队总教练、领队。
他长期从事数论及数学课程与教学论研究，发表各种论文100余篇，出版专著20余部。1至今已经发表数学普及、数学竞赛与数学教育等方面的论文150余篇，出版著作20余部，如 《解题研究》 （有此题）、《数学竞赛研究教程》、《组合几何》、《对应》，主编《数学奥林匹克系列图书》多部。其著作曾获"中国图书奖"一等奖。

《解题研究》的趣事：当时这本书出的时候，书价被炒到了两千多一本。而单爷爷觉得自己的书怎么能被炒呢？于是在近几年又出了新的。

好的，~~凑字数环节结束。
单爷爷在《解题研究》中批判了此题的前三种解法，说，作为一个老师怎么能这样骗学生？
单爷爷是什么意思？ 其实从法一到法三都在干一件事情，都有一个共同的逻辑，他们都在化分式为整式，我们为什么会有54项？36项？12项？因为我们在通完分后进行了交叉相乘，而我们交叉相乘是想用整式搞定一个分式题，在化分式为整式。而单爷爷说，我们为什么要化分式为整式呢？为什么不用分式它本身的逻辑去搞定它呢？

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$5.$揭秘环节~~神解$ing$

怎么用分式本身的逻辑，捯饬出$abc=1$呢？

• 分析：其实我们只要能捯饬出
  $abc-1/M=0$
  就可以了。用分式捯饬出一个等式的逻辑就是分式为0的条件（当分子为0时,分母不为0）呀。（WOW，好有道理的话）。
  所以单爷爷根本没有交叉相乘。那么他是如何做到的？？？
• 神解$ing$： 不交叉相乘我们也要通分啊，而通分的脉络前面提到了，太夸张了，三项通分很要命。而单爷爷做的第一件事就是将三项改成了四项。他把等式右边的1，挪到了左边，这样不仅可以将三项改成了四项，还把等式的右边变成了0。
  
  步骤：移过来变四项——>两两通分——> $abc-1/M=0$
  我们前三步在移过来，变四项，第四步两两通分，分母并未展开，直到五，六步我们依旧没有将分母展开。。所以说单爷爷还是单爷爷，向单爷爷致敬！！！

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$6.$感想

就这样茫茫题海中的一道题，从普通的解法到秒解的标答，到最后单爷爷的神解，我深深的被震撼到了。分式与整式，能够如此巧妙的结合，也各自有自己的套路与特点。从前以为自己已经知道了很多，其实都只是冰山一角，所以我们学习到的每个部分都是可以互相串联的，就如代数与几何，谁能说他们没有共同点呢? 解出一道题并没什么了不起，而从一到题能想到和连接其他的题目，思路，方法，归纳和总结出它们才了不起。数学是奇妙的，是变幻莫测的，我也慢慢体会到了来自数学的浪漫。
现在总算理解了一句话：“数学虐我千百遍，我待数学如初恋”。
数学伴我成长！

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最后送给自己两句话

• ——如果结局不如你所愿，就在尘埃落定前奋力一搏。
• ——成功的路上并不拥挤，因为大多数人选择了安逸。

——2020，Try my best！！！