搜索算法(顺序、二分、索引)

搜索算法

平均查找长度ASL

$ASL=P_1{C}_1+P_2{C}_2+...+P_n{C}_n$
P_{n}: 查找第n个元素的概率
C_{n}:查找第n个元素的比较次数

常见的查询算法

• 顺序查找
• 二分查找
• 索引查找
• 哈希查找

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1. 顺序查找

复杂度分析:

• 最好情况: O(1)
• 最差情况: O(n)
• $ASL=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n+1}{2}$

代码:

typedef int ElemType;
int seqSearch(ElemType *table, int length, ElemType target){
  int i;
  for(i = 0; i < length ; i++){
    if(table[i] == target){
      return i;
    }
  }
  return -1;
}

2. 二分查找(折半)

要求

有序表

复杂度分析:

• 最好情况: O(1)
• 最差情况: O($lo{g}_{2}n+1$)
• ASL: 假设为满二叉树: 树高 $h=lo{g}_2(n+1)$
  $$ASL=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{h}i\ast 2^{i-1}=\frac{n+1}{n}lo{g}_2(n+1)-1$$

代码:

typedef int ElemType;
int binarySearcch(ElemType *table, int length, ElemType target) {
  if(length <= 0) return -1;
  int low = 0, high = length - 1, mid = (high + low) / 2;

  while(low <= high) {
    if(target == table[mid]) return mid;
    else if(target < table[mid])
      high = mid -1;
    else low = mid + 1;

    mid = (low + high) / 2;
  }
  return -1;
}

3. 索引查找

要求

• 建立索引, 根据索引定位, 每个索引划分一个块
• 索引有序, 每个块内部也有序
• 对索引表和每个块内都可以进行顺序查找或者二分查找
• 即在索引表中查找, 再到块中查找.

复杂度分析:

• 假设索引和快内都采用顺序搜索:
• ASL = ASL(索引表) + ASL(块内)
• 设表长为n, 每个块有r个元素, 可以分为s个块 , 粗略来说: $r=\frac{n}{s}$
  $$ASL=\frac{1}{s}\sum _{i=1}^{s}i+\frac{1}{r}\sum _{j=1}^{r}j=\frac{s+r+2}{2}=\frac{1}{2}(\frac{n}{s}+s)+1$$

代码:

typedef int Elemtype;

typedef struct index{
  Elemtype key;
  int index;
}Index;

int indexSearch(vector <Index> indexVec, Elemtype *table, Elemtype target) {
  //索引表中最后一个元素存储的index为table的最后一个元素的下标
  int i = 0;
  while(i < indexVec.size() - 1 && target > indexVec[i].key) i++;
  if( i == indexVec.size() - 1) return -1;

  int j = indexVec[i].index;
  // printf("块:%d\n",i );

  while(table[j] != target && j < indexVec[i+1].index) j++;
  if(target == table[j]) return j;
  return -1;
}