更多数学趣题：Hanoi塔

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印度有个古老传说：在世界的中心贝拿勒斯的神庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上穿好了由大到小的64片金片，这就是汉诺塔。不论白天黑夜，一群沉默的僧侣在移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消失。

 

汉诺塔模型如上图，问题化成将A中的盘片最后转移到B中，可以借助中间一根柱子。

你上来就直接移动几个盘片，摆弄了几次，你放弃了，因为太繁琐了。碰到这种问题，我们一般是简化。

最简化的，是假设只有一个盘片，那太容易了，直接移到B；

次简化的，假设有两个盘片，那就把第一个小盘片移到中间的柱子，然后把底下的大盘片移到B，再之后把小盘片从中间移到B。

进一步，假设有三个盘片，步骤一是把第一个小盘片移到B，然后步骤二把第二个盘片移到中间，再之后步骤三把B上的小盘片移到中间，这样上面的两个盘片整体移到中间柱子了，所以步骤四就是把A剩下的底下那个大盘片移动到B，步骤五就是把中间柱子最上面的小盘片移动到A，步骤六把中间柱子下面的盘片移动到B，最后步骤七把A的小盘片移动到B。完毕。如下图所示：

 

我们仔细看上面的步骤，会发现一个关键点，就是对三个盘片来讲，就是要先想方设法让上面的两个整体移动到中间柱子，剩下的大盘片就直接移动到最后的目标了。

推广这个结论，对N个盘片，我们的任务就变成了先将N-1个盘片整体移动到中间柱子，然后就好办了，直接移动底下最大的那个。接下来的任务就是同样的了，不同之处在于少了一个盘片。这样一步步剩下N-1，然后N-2，...

所以，这个思路，就是递归的思路。n个盘片，123三根柱子，我们先把n-1个盘片整体从柱子1移动到柱子2，再把底下的第n个盘片从柱子1移动到柱子3，最后再把n-1个盘片整体从柱子2移到柱子3。程序实现：

def hanoi(n,a,b,c):

    if n == 1:

        print(n,a,c)

        return

    hanoi(n-1,a,c,b)

    print(n,a,c)

    hanoi(n-1,b,a,c)



print(hanoi(3,1,2,3))

解读一下。一步步跟踪。

第一层，hanoi(3,1,2,3)，执行 hanoi(n-1,a,c,b)语句即 hanoi(2,1,3,2)，递归进去，进入第二层；

第二层，hanoi(2,1,3,2)，执行hanoi(n-1,a,c,b)语句即hanoi(1,1,2,3)，递归进去，进入第三层；

第三层，hanoi(1,1,2,3)，执行print(n,a,c)语句即print(1,1,3)，返回到第二层；

继续第二层，执行print(n,a,c)语句即print(2,1,2)，再执行hanoi(n-1,b,a,c)语句即hanoi(1,3,1,2)，递归进去，再次进入第三层；

第三层，hanoi(1,3,1,2)，执行print(n,a,c)语句即print(1,3,2)，返回到第二层；

第二层语句都执行完了，返回第一层；

继续第一层，执行print(n,a,c)语句即print(3,1,3)，再执行hanoi(n-1,b,a,c)语句即hanoi(2,2,1,3)，递归进去，再次进入第二层；

第二层，hanoi(2,2,1,3)，执行hanoi(n-1,a,c,b)语句即hanoi(1,2,3,1)，递归进去，进入第三层；

第三层，hanoi(1,2,3,1)，执行print(n,a,c)语句即print(1,2,1)，返回到第二层；

继续第二层，hanoi(2,2,1,3)，执行print(n,a,c)语句即执行print(2,2,3)，再执行hanoi(n-1,b,a,c)即hanoi(1,1,2,3)，递归进去，进入第三层；

第三层，hanoi(1,1,2,3)，执行print(n,a,c)语句即print(1,1,3)，返回到第二层；

第二层语句执行完了，返回第一层；

第一层语句也执行完了，完毕。

最后输出结果：

1 1 3

2 1 2

1 3 2

3 1 3

1 2 1

2 2 3

1 1 3

上面的调用过程可以用一个图直观展示：

 

从这个图我们可以看到，递归的调用过程是一棵树，逐层展开的逐层返回。我们对递归的详细介绍也到此为止，后面不这么一步步跟踪了。你要熟悉这个过程。

我们计算一下，N片要移动多少次？我们从上面代码看到了，f(k+1）=2*f(k)+1，不难证明f(n)=2n-1。从调用图示也可以看出来，第一层有一次，第二层有两次，第三层有四次。

按照传说，Hanoi塔上有64个盘片，所以一共要移动的次数为f（64）= 264-1=18446744073709551615。这是一个难以想象的大数。

如果这些僧侣一秒钟移动一次，大约要花584554049253.855年，也就是说需要5845亿年以上，而地球存在不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。Hanoi塔搬完的那个时候，我们熟悉的一切，地球，太阳，星空，文明，估计都已经不存在了。

所以传说当僧侣们搬完这些金片的时候这世界就会消失，或许没有错啊。