线性代数 03.05 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课

内容小结
矩阵的初等变换与线性方程组⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3.1矩阵的初等变换3.2矩阵的秩3.3线性方程组的解3.4初等方阵  

3.1 矩阵的初等变换
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 概念⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1.对换矩阵的i.j两行(列)2.用k≠0乘矩阵的第i行(列)3.把某i行(列)的k倍加到另一行(列)的对应元素上去 性质{1.初等变换不改变矩阵的秩2.对A经过有限次初等变换得到B,则A等价B 用途⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1.求逆(A|E)∼ 行变换 (E|A −1 )(AE )∼ 列变换 (EA −1  )2.求矩阵A的秩、最简形、标准形   

3.2矩阵的秩
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 概念{k阶子式秩:矩阵非零子式的最高阶数 性质⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 零矩阵的秩为零.R(A)=R(A T )若B可逆,则R(AB)=R(A)R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{(R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)−n若AB=0,则R(A)+R(B)≤n   

3.3线性方程组的解
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ax=0⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ax=0:有非零解↔R(A)<n求解⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1.化系数矩阵为最简形2.找到等价方程组3.写通解  Ax=b⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ax=b有解↔R(A)=R(B)求解⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1.把增广矩阵B化为最简形2.找到等价方程组3.写通解    

Ax=0解的结构 
Ax=0有唯一零解⟺R(A)=r=n 
Ax=0有无穷多个非零解⟺R(A)=r<n 
其通解可表为:x=k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +⋯+k n−r ξ n−r 其中ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n−r 为方程组的基础解系. 

Ax=b解的结构 
Ax=b无解⟺R(A)≠R(B) 
Ax=b有解⟺R(A)=R(B)=r 
1)当r=n时,方程组有唯一解.2)当r<n时,方程组有无穷多解.且其通解可表为:x=k 1 ξ 1 +k 2 ξ 2 +⋯+k n−r ξ n−r +η ∗ 其中ξ 1 ,ξ 2 ,⋯,ξ n−r 为方程组的基础解系.η ∗ 为方程组的一个特解. 

3.4初等方阵
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 概念{对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵三种初等变换对应三种初等方阵 性质⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 初等方阵都是可逆矩阵,其逆仍然是同种初等矩阵.对A m×n 矩阵实施一次行初等变换,相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵;对A m×n 矩阵实施一次列初等变换,相当于对A右乘一个相应的n阶初等方阵.任何可逆矩阵都可以表示为若干个初等方阵的乘积.   

例1.把下面矩阵化为最简形矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2132 32−2−3 1087 −3−234 −7−403 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
解:A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2132 32−2−3 1087 −3−234 −7−403 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1232 23−2−3 0187 −2−334 −4−703 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2−100 0100 −2111 −4144 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 2−100 0−110 −2−140 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 2−100 0010 −2340 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  

例2.求下面矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2231 1−3−20 8053 3782 7−500 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
解:A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2231 1−3−20 8053 3782 7−500 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1232 0−3−21 3058 2783 0−507 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0−3−21 3−6−42 232−1 0−507 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 01−2−3 32−4−6 2−123 070−5 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 3200 2−100 071416 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 3200 2−100 0711 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 3200 2−100 0010 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ R(A)=3∵∣ ∣ ∣ ∣ 231 3−20 −500 ∣ ∣ ∣ ∣ ≠0∴⎛ ⎝ ⎜ 231 3−20 −500 ⎞ ⎠ ⎟ 是原矩阵的一个最高阶非零子式 

例3.试利用矩阵的初等行变换,求下面矩阵的逆矩阵:B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 3010 −22−21 02−32 −11−21 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  
解:(B|E)=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 3010 −22−21 02−32 −11−21 1000 0100 0010 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1030 −22−21 −3202 −21−11 0010 0100 1000 0001 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 −2141 −3092 −2051 0010 0100 10−30 0−101 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 1012 0011 0010 010−1 10−30 2−1−42 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 1011 0010 001−1 010−1 10−33 2−1−46 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 1011 0001 00−11 01−10 103−3 2−16−4 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 0001 10−12 11−11 −203−6 −4−16−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ B −1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 10−12 11−11 −203−6 −4−16−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟  

例4.求解下面非齐次线性方程组: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2x+3y+z=4x−2y+4z=−53x+8y−2z=134x−y+9z=−6  
解:对增广矩阵B进行行初等变换B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2134 3−28−1 14−29 4−513−6 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1234 −238−1 41−29 −5413−6 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 −27147 4−7−14−7 −5142814 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 −2100 4−100 −5200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 2−100 −1200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ R(A)=R(B)=2<n=3,有无穷多解等价方程组为: 
{x+2z=−1y−z=2  
即：{x=−2z−1y=z+2  
令z=k,得 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x=−2k−1y=k+2z=k  
⎛ ⎝ ⎜ xyz ⎞ ⎠ ⎟ =k⎛ ⎝ ⎜ −211 ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ −120 ⎞ ⎠ ⎟ (k∈R) 

例5.非齐次线性方程组 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −2x 1 +x 2 +x 3 =−2x 1 −2x 2 +x 3 =λx 1 +x 2 −2x 3 =λ 2   
当λ取何值时有解?并求出它的解. 
解:对增广矩阵B作行初等变换B=⎛ ⎝ ⎜ −211 1−21 11−2 −2λλ 2  ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 11−2 1−21 −211 λ 2 λ−2 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−33 −23−3 λ 2 λ−λ 2 2(λ+1)(λ−1) ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 130 −2−30 λ 2 λ(λ−1)(λ+2)(λ−1) ⎞ ⎠ ⎟ 当(λ+2)(λ−1)=0时,R(A)=R(B),方程有解.当λ=−2时,B∼⎛ ⎝ ⎜ 100 130 −2−30 460 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 110 −2−10 420 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 −1−10 220 ⎞ ⎠ ⎟  
同解方程组为:{x 1 −x 3 =2x 2 −x 3 =2  
{x 1 =x 3 +2x 2 =x 3 +2  
令x 3 =k,k∈R,得 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 =k+2x 2 =k+2x 3 =k  
⎛ ⎝ ⎜ x 1 x 2 x 3  ⎞ ⎠ ⎟ =k⎛ ⎝ ⎜ 111 ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜