【BSOJ1724】【bzoj3032】TYVJ P1924 【NOIP2013模拟】七夕祭

1724 -- 【模拟试题】七夕祭

Description

【题目背景】

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了 「情人节」的帽子。于是TYVJ 今年举办了一次线下七夕祭。Vani 同学今年成功邀请到了 cl 同学陪他来共度七夕，于是他们决定去 TYVJ七夕祭游玩。

【题目描述】

TYVJ 七夕祭和11区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由N 排 M列共计N×M个摊点组成。虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。Vani预先联系了 七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，并且各列中 cl 感兴趣的摊点数也一样多。不过zhq告诉Vani，摊点已经布置完毕了，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或 者同一列的相邻位置上。由于 zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少 个。在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

Input

第一行包含三个整数 N和M和 T。T 表示 cl对多少个摊点感兴趣。

接下来T行，每行两个整数 x, y，表示 cl对处在第x 行第 y列的摊点感兴趣。

Output

首先输出一个字符串。如果能满足 Vani 的全部两个要求，输出 both；如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，输出 row；如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多，输出column；如果均不能满足，输出impossible。

如果输出的字符串不是 impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

Sample Input

【样例输入1】

     2 3 4

     1 3

     2 1

     2 2

     2 3

【样例输入2】

     3 3 3

     1 3

     2 2

     2 3

Sample Output

【样例输出1】

     row 1

【样例输出2】

     both 2

Hint

【数据范围与约定】

对于30% 的数据，N, M≤100。

对于70% 的数据，N, M≤1000。

对于100% 的数据，1≤N, M≤100000，0≤T≤min(NM, 100000)，1≤x≤N，1≤y≤M。

题解：

这道题是均分纸牌的提高版，与【BZOJ】【1045/1465】【HAOI2008】糖果传递和【CQOI2011】分金币相似
70%的数据可以枚举断点来处理。

设 bi 的前缀和为 si。如果从第 k 个位置开始，那么第 i 堆和第 i+1 堆交换的纸牌数就是 |si-sk|。

总代价就是|s1-sk|+|s2-sk|+|s3-sk|+……+|sn-sk|。发现什么了？当 sk 是 s1~sn 中位数的时候，上式有最小值！所以把 si 排序后，令 sk=s[(n+1)/2]，计算代价即可。

时间复杂度 O(nlogn)，预计得分 100 分。

100%的数据需要寻求一点数学处理。可以参考hwzer的博客。http://hzwer.com/2656.html

首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。

假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了 第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。

同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。

尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。

对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）

对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

……

对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。

  我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离 之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
long long n,m,t,x[100005],y[100005],ans=0,sum=0,s1[100005],s2[100005];
void dp()
{
    if(t%n==0)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
          sum+=x[i];
        int aver=sum/n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          x[i]-=aver;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          s1[i]=s1[i-1]+x[i];
        sort(s1+1,s1+n+1);
        aver=s1[(n+1)/2];
        for(int i=1;i<=n;i++)
          ans+=abs(aver-s1[i]);
     }
    sum=0;
    if(t%m==0)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
          sum+=y[i];
        int aver=sum/m;
        for(int i=1;i<=m;i++)
          y[i]-=aver;
        for(int i=1;i<=m;i++)
          s2[i]=s2[i-1]+y[i];
        sort(s2+1,s2+m+1);
        aver=s2[(m+1)/2];
        for(int i=1;i<=m;i++)
          ans+=abs(aver-s2[i]);
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>t;
    int a,b;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        cin>>a>>b;
        x[a]++,y[b]++;
    }
    if(t%m==0&&t%n==0)cout<<"both ";
    else if(t%n==0)cout<<"row ";
    else if(t%m==0)cout<<"column ";
    else {cout<<"impossible ";return 0;}
    dp();
    cout<