面试题中的概率问题 - 数学期望（3） - 求最小值过程中元素替换次数的期望

问题描述：

这是今年微软的一道面试题，考究的要点，仍然是我之前博文【面试中的概率问题-数学期望】中提到的数学期望的递归特性。

 

给定一个数组arr[0..N-1]，其中每个元素值均不相同，让你求最小值，一个非常典型的做法是这样的：

 

int minVal= MAXINT;
for (i = 0;i < N; i ++) {
    if (arr[i] < minVal) minVal =arr[i];
}

现在问你，minVal = arr[i]的执行次数的期望是多少？

 

问题分析：

依旧使用数学期望中的递归特性来解决这个问题。我们令数组元素个数为n时，对应的数学期望为f(n)。

 

那么f(n)可以进行如下分解：

如果最小值是arr[0]，概率为1/n，执行次数为1次

如果最小值是arr[1]，概率为1/n，执行次数为1次+f(1)

如果最小值是arr[i]，概率为1/n，执行次数为1次+f(i)

…

如果最小值是arr[n-1]，概率为1/n，执行次数为1次+f(n-1)

 

综上f(n) = (1/n)*((1) +(1+f(1)) + (1+f(2)) + … + (1+f(n-1)))，化简后为

f(n) = (0+f(1)+f(2)+…+f(n-1))/n+ 1

 

如果我们令f(0) = 0，那么

f(0) = 0

f(n) = (f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n-1))/n+ 1

 

最终可以得到：f(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n

 

最终答案：

f(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n