离散数学_构造推理的证明

1、在自然推理系统F中，构造下面推理的证明

不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。

个体域为实数集合。

令$F(x):x$是无理数 $G(x):x$是有理数 $H(x):x$能表示成分数

命题符号化：

​ 不存在能表示成分数的无理数：$\neg \exists x(H(x)\wedge F(x))$

​ 有理数都能表示成分数：$\forall x(G(x)\to H(x))$

​ 有理数都不是无理数：$\forall x(G(x)\to \neg F(x))$

证明：

​ （1）$\neg \exists x(H(x)\wedge F(x))$

​ （2）$\forall x(\neg H(x)\vee \neg F(x))$ 量词转换、摩根律

​ （3）$\neg H(a)\vee \neg F(a)$ 去掉全称量词

​ （4）$H(a)\to \neg F(a)$

​ （5）$\forall x(G(x)\to H(x))$

​ （6）$G(a)\to H(a))$ 去掉全称量词

​ （7）$G(a)\to \neg F(a)$ (4)与(6)

​ （8）$\forall x(G(x)\to \neg F(x))$ 添加全称量词

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2、在自然推理系统中，构造下面推理的证明

任何自然数都是整数；存在着自然数。所以存在着整数。

令：$F(x):x$是自然数 $G(x):x$是整数

前提：$\forall x(F(x)\to G(x))$，$\exists x(F(x))$

结论：$\exists xG(x)$

证明：

​ (1) $\exists x(F(x))$ 前提引入

​ (2) $F(a)$ 去存在量词

​ (3) $\forall x(F(x)\to G(x))$ 前提引入

​ (4) $F(a)\to G(a)$ 去全称量词

​ (5) $G(a)$ (2)(4)假言推理

​ (6) $\exists xG(x)$ 添加全称量词

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3、如果你给我发了一封电子邮件，那么我将完成程序的编写。如果你没有给我发电子邮件，那么我会早点睡觉。如果我早点入睡， 然后我会醒来感觉神清气爽。结论:如果我没有完成程序的编写，那么我会觉得神清气爽

令：

$p:$你给我发了一封电子邮件

$q:$我将完成程序的编写

$r:$我会早点睡觉

$s:$我会神清气爽

前提：

​ $p\to q$

​ $\neg p\to r$

​ $r\to s$

结论：

​ $\neg q\to s$

证明：

1、$\neg p\to r$	前提引入
2、$p\vee r$	1的蕴涵等值式
3、$p\to q$	前提引入
4、$r\to s$	前提引入
5、$q\vee s$	3、4、5的构造性二难
6、$\neg q\to s$	5的蕴涵等值式