算法复杂度下界证明---对手论证(adversary argument)基础篇

什么是对手论证？

将算法设计者与算法分析者看作对手，同时扮演两个角色进行算法分析。

1. 算法设计者：尽量多的创造更多信息
2. 算法分析者：尽量少的给予信息，拥有着随时合理改变取值的能力

只有这二者做到极致，对手论证才能成立。

注：从分析者的角度可以忽视很多细节，凑出题目所要求的大小即可

从同大小问题引入

问题描述：

给定数列，设计算法输出最大值和最小值，并给出该问题的算法复杂度下界

思路

默认关键操作为比较
每个元素可能有四种状态：W,L,N,W/L，代表曾经在某次比较中胜出，败北，没有经历过比较，胜出和败北都经历过，
由于W/L的元素一定不是max/min，所以最终一定是处于两个元素W，L，其余元素W/L的情形
需要获得的信息总量：

1. n个元素都要从N到W or L n个信息
2. n-2个元素要从W到W/L n-2个信息
3. 共计2n-2个

于是我们的对手策略设计如下：

1. 比较N：N，结果必然是W,L（L，W与之等价），设计者获得两个信息，分析者无法改变这一事实
2. 比较W,L,分析者让其继续为w,L即可让他徒劳无获
3. 比较W,W,结果必然是W,W/L分析者无法改变这一事实
4. 比较W,N,分析者让他是W，L,即可让他只获得一个信息

需要获得的总信息量最少是$2n-2$

而我们上面的分析可知，最少需$\frac{n}{2}+n-2$次比较才能获得那么多的信息量
于是下界为$\mathrm{O}(\frac{3n}{2}-2)$

“第二大”问题

问题描述：

问题：选出一个数列的第二大元素

给出该问题的算法复杂度下界

思路：

1. 想选出第二大，必先选出第一大（n-1）
2. 第二大只有可能是直接输给第一大的那些人里面的人

解：

结论：任何算法都至少要经过$\mathrm{O}(n+logn-2)$步才能得出正确得第二大元素
想选出第二大，必先选出第一大（n-1）

我们给每个点初始化一个权重w(i)=1，并且每当算法进行比较x:y时，我们给出如下反应（赋值）：

1. $w(x)>w(y)\Rightarrow 令x>yw(x)=w(x)+w(y),w(y)=0$
2. $w(y)>w(x)\Rightarrow 令y>xw(y)=w(x)+w(y),w(x)=0$
3. $w(y)=w(x)\Rightarrow 令y>xw(y)=w(x)+w(y),w(x)=0$

基于上述反应，可以看到每一次的更新都不会使得权重翻倍，因此对于最大元素w(x)=n,其至少更新了log(n)次，即至少有log(n)个直接输给最大元素的家伙，从它们之中选出最大：logn-1

综上所述：下界为$\mathrm{O}(n+logn-2)$

中位数问题

问题描述：

选出一个数列的中位数

证明该问题的算法复杂度下界为$\mathrm{O}(n)$

思路：

要使得算法能够找到中位数，算法必须至少要做n-1个和中位数有关的比较，我们定义这种比较为有效比较，我们将参杂$\frac{(n-1)}{2}$个无效比较，具体做法：

定义L：所有比中位数大的集合，S：所有比中位数小的集合
每当算法进行比较x:y时，我们给出以下反应：

1. N,N$\Rightarrow$L，S
2. L,N/S,N $\Rightarrow$L,S/S,L，且定死：最后一个具有属性N的是中位数

那么要将所有N分配到L和S至少需要$(n-1)/2$个无关中位数的操作，即无效操作

综上：下界为$\mathrm{O}(\frac{n-1}{2}+n-1)=\mathrm{O}(\frac{3n-3}{2})$

有序矩阵搜索问题

问题描述

一个n*n矩阵，其每行元素从左到右升序排序，每列元素自上而下升序排序，现给一个数k，找到k在矩阵中的位置

证明改问题的算法复杂度下界为$\mathrm{O}(2n-1)$

思路：

该矩阵的每一个斜对角线都是一个等价类，之间无任何关系，因此我们的对手策略就很清晰了：

将算法逼到最中间的那两条线上（这两条斜对角线元素之和为2n-1），无论如何算法都要比较这两条斜对角线即可，我们将在上面的斜对角线记为l1,另一条记为l2.

假定算法选定的元素为u，目标是k，策略如下：

1. 若u在两条斜对角线之下的某条斜对角线，则u>k。
2. 若u在两条斜对角线之上的某条斜对角线，则u
3. 若u在l1上且还没有比完l2上所有元素，则u
4. 若u在l2上且还没有比完l1上所有元素,则u>k.
   经过以上策略，算法一定会到达l1,l2并将其元素尽数比完，问题下界即$O(2n-1)$

O（n）查环问题

问题描述

给定一图G，请证明不可能在O（v）时间内完成判断：图中是否存在一个环

思路

假设存在一个O（n）算法，则对于算法的每次询问（u，v）是否存在边e，做以下的对抗策略：

1. 若e的存在使得G中成环，则回答不存在边e
2. 否则回答存在边e

这样，当算法给出答案“有环”时，实际上图中无环
当算法给出答案“无环”时，实际上将算法未询问的边加入G中，共加入$O(n^2-n)=O(n^2)$条边，必然成环，这样图中又有环，于是算法不能给出正确答案，命题得证