模拟信号运算电路
内容提要： 运算放大器最早应用于模拟信号的运算，故此得名。至今，信号的运算仍是集成运放一个重要而基本的应用领域。本章主要介绍由集成运放组成的比例电路、求路电路、积分和微分电路、对数和指数电路以及乘法和除法电路，最后，扼要地介绍应用日益广泛的集成模拟乘法器。在各种运算电路中，要求输出和输入的模拟信号之间实现一定的数学运算关系，因此，运算电路中的集成运放必须工作在线性区。在定量分析时，始终将理想运放工作在线性区时的两个特点，即“虚短”和“虚断”人微言轻基本的出发点。
学习要求：
①掌握比例、求和及积分三种基本运算电路的工作原理和输入、输出关系。。
②了解微分电路、对数与指数电路以及模拟乘法器等的工作原理与用途。
比例运算电路
比例运算电路的输出电压与输入电压之间存在比例关系，即电路可实现比例运算。比例电路是最基本的运算电路，是其他各种运算电路的基础，本章随后将要介绍的求和电路、积分和微分电路、对数和指数电路等等，都是在比例电路的基础上，加以扩展或演变以后得到的。 根据输入信号接法的不同，比例电路有三种基本形式：反相输入、同相输入以及差分输入比例电路。
6.1.1 反相比例运算电路
在上图中，输入电压u1经电阻R1加到集成支放的反相输入端，其同相输入端经电阻R2接地。输出电压u0经RF接回到反相输入端。集成运放的反相输入端和同相输入端，实际上是运放内部输入级两个差分对管的基极。为使差动放大电路的参数保持对称，应使两个差分对管基极对地的电阻尽量一致，以免静态基流流过这两个电阻时，在运放输入端产生附加的偏差电压。因此，通常选择R2的阻值为 R2=R1 // RF （6.1.1）
经过分析可知，反相比例运算电路中反馈的组态是电压并联负反馈。由于集成运放的开环差模增益很高，因此容易满足深负反馈的条件，故可以认为集成运放工作在线性区。因此，可以利用理想运放工作在线性区时“虚短”和“虚断”的特点来分析反相比例运算电路的电压放大倍数。
在上图中，由于“虚断”，故i+=0，即R2上没有压降，则u+=0。又因“虚短”，可得
u-= u+=0 （6.1.2）
上述说明在反相比例运算电路中，集成运放的反相输入端与同相输入端两点的电位不仅相等，而且均等于零，如同该两点接地一样，这种现象称为“虚地”。“虚地”是反相比例运算电路的一个重要特点。
由于I-=0，由由图可见
iI= iF
即
上式中u-=0，由此可求得反相比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.3) 下面分析反相比例运算电路的输入电阻。因为反相输入端“虚地”，显而易见，电路的输入电阻为
Rif = R1 (6.1.4)
综合以上分析，对反相比例运算电路可以归纳得出以下几点结论：
1）反相比例运算电路实际上是一个深度的电压并联负反馈电路。在理想情况下，反相输入端的电位等于零，称为“虚地”。因此加在集成运簇输入端的共模输入电压很小。
2）电压放大倍数 , 即输出电压与输入电压的幅值成正比，但相位
相反。也就是说，电路实现了反相比例运算。比值 Auf 决定于电阻RF和R1之比，而与集成运放内部各项参数无关。只要RF和R1的阻值比较准确而稳定，就可以得到准确的比例运算关系。比值Auf 可以大于1，也可以小于1。当RF=R1时，Auf=-1，称为单位增益倒相器。
3）由于引入了深度电压并联负反馈，因此电路的输入电阻不高，输出电阻很低。
6.1.2 同相比例运算电路
在上图中，输入电压u1接至同相输入端，但是为保证引入的是负反馈，输出电压uo通过电阴RF仍接到反相输入端，同时，反相输入端通过电阴R1接地。为了使集成运放反相输入端和同相输入端对地的电阻一致，R2的阻值仍应为
R2 = R1 // RF
同相比例运算电路中反馈的组态为电压串联负反馈，同样可以利用理想运放工作在线性区时的两个特点来分析其电压放大位数。
在上图中，根据“虚短”和“虚断”的特点可知, i_=i+=0, 故
则同相比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.5)
由于引入了电压串联负反馈，因此能够提高输入电阻，而且提高的程度与反馈深度有关。在理想运放条件下，即认为Aod 趋于无穷大，Rid趋于无穷大 ,则同相比例运算电路的输入电阻Rid 趋于无穷大。当考虑Aod≠ ∞，Rid ≠ ∞的一般情况时，经过分析可知，同相比例运算电路的输入电阻为
Rid = （1 + AodF）Rid （6.1.6）
式中Aod和Rid分别是集成运放的开环差模电压增益和差模输入电阻，F是反馈系数，在本电路中
由式（6.1.5）可知，同相比例运算电路的电压放大倍数总是大于或等于1。
由于这种电路的输出电压与输入电压不仅幅值相等，而且相位也相同，二者之间是一种“跟随”关系，所以又称为电压跟随器。
综上所述，对同相比例运算电路可以得到以下几点结论：
1）相比例运算放大电路是一个深度的电压串联负反馈电路。因为u_ = u+= uI，所以不存在“虚地”现象，在选用集成运放时要考虑到其输入端可能具有较高的共模输入电压。
2)电压放大倍数 ,即输出电压与输入电压的幅值成正比，且相位相同。也就是说，电路实现了同相比例运算。Auf也只取决于电阻RF和R1之比，而与集成运放的内部参数无关，所以比例运算的精度和稳定性主要取决于电阻RF和R1的精确度和稳定度。一般情况下，Auf值恒大于1。当RF=0或R1=∞时，Auf=1，这种电路称为电压跟随器。
3）由于引入深度电压串联负反馈，因此电路的输入电阻很高，输出电阻很低。
6.1.3 差分比例运算电路
在上图中，输入电压uI和uI’分别加在集成运放的反相输入端和同相输入端，从输出端通过反馈电阴RF接回到反相输入端。为了保证运放两个输入端对地的电阻平衡，同时为了避免降低共模抑制比，通常要求
R1= R1’
RF= RF’
在理想条件下，由于“虚断”，i+=i_=0，利用叠加定理可求得反相输入端的电位为
而同相输入端的电位为
当满足条件R1 = R1’，RF = RF’ 时，整理上式，可求得差分比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.8)
在电路元件参数对称的条件下，差分比例运算电路的差模输入电阻为
Rif = 2R1 (6.1.9)
由式(6·1·8)可知，电路的输出电压与两个输入电压之差成正比，实现了差分比例运算。其比值旧|Auf|同样决定于电阻RF和R1之比，而与集成运放内部参数无关。由以上分析还可以知道，差分比例运算电路中集成运放的反相输入端和同相输入端可能加有较高的共模输入电压，电路中不存在"虚地"现象。
差分比例运算电路除了可以进行减法运算以外，还经常被用作测量放大器。差分比例运算电路的缺点是对元件的对称性要求比较高，如果元件失配，不仅在计算中带来附加误差，而且将产生共模电压输出。电路的另一个缺点是输入电阻不够高。
以上介绍了反相输入、同相输入和差分输入三种基本形式的比例电路，现将它们的电路组成、电压放大倍数、输入和输出电阻，以及性能特点归纳在表6-1中，以便进行比较。
上述各种比例运算电路的输入、输出关系表达式都是在理想运放条件下得到的，但实际集成运放的各项指标不可能完全理想，因此在上述运算公式中将产生误差。
求和电路
求和电路的输出量反映多个模拟输入量相加的结果。用运放实现求和运算时，可以采用反相输人方式，也可采用同相输入方式。
6.2.1 反相输入求和电路
上图示出了具有三个输入端的反相求和电路。可以看出，这个求和电路实际上是在反相比例运算电路的基础上加以扩展而得到的。 为了保证集成运放两个输大端对地的电阻平衡，同相输入端电阻R’的阻值应为
R’=R1//R2//R3//RF (6.2.1)
由于“虚断”，i_=0，因此
i1+i2+i3=iF
又因集成运放的反相输入端“虚地”，故上式可写为
则输出电压为
6.2.2) 可见，电路的输出电压uo反映了输入电压u11、u12和u13相加所得的结果，即电路能够实现求和运算。如果电路中电阻的阻值满足关系R1=R2=R3=R，则上式成为
6.2.3) 当然，按照同样的原则，可以将求和电路的输入端扩充到三个以上，电路的分析方法是相同的。
通过上面的分析可以看出，反相输入求和电路的实质是利用“虚地”和“虚断”的特点，通过各路输入电流相加的方法来实现输入电压的相加。
这种反相输入电路的优点是，当改变某一输入回路的电阻时，仅仅改变输出电压与该路输入电压之间的比例关系，对其他各路没有影响，因此调节比较灵活方便。另外，由于"虚地"，因此，加在集成运放输入端的共模电压很小。在实际工作中，反相输入方式的求和电路应用比较广泛。
6.2.2 同相输入求和电路
为了实现同相求和，可将各输入电压加在集成运放的同相输大端，但为了引入一个深负反馈，反馈电阻RF仍需接到反相输入端，如上图所示。
由于“虚断”，i＋=0,故对运放的同相输入端可列出以下节点电流方程
又由于"虚短"，即u＋=u_，则输出电压为
(6.2.4)
此式与式(6.2.2)形式上相似，但前面没有负号，可见能够实现同相求和运算。但是，式(6.2.4)中的R十与各输入回路的电阻都有关，因此，当调节某一回路的电阻以达到给定的关系时，其他各路输入电压与输出电压之间的比值也将随之变化，常常需要反复调节才能将参数值最后确定，估算和调试的过程比较麻烦。此外，由于不存在"虚地"现象，集成运放承受的共模输入电压也比较高。在实际工作中，同相求和电路的应用不如反相求和电路广泛。
从原理上说，求和电路也可采用双端输入方式，此时，电路的多个输入信号之间同时可以实现加法和减法运算，但是这种电路参数的调整十分繁琐，因此实际上很少采用。如果需要同时实现加法和减法运算，可以考虑采用两级反相求和电路。
积分和微分 电路
6.3.1 积分电路 积分电路是一种应用比较广泛的模拟信号运算电路。它是组成模拟计算机的基本单元，用以实现对微分方程的模拟。同时，积分电路也是控制和测量系统中常用的重要单元，利用其充放电过程可以实现延时、定时以及各种波形的产生。
一、电路组成
电容两端的电压uc与流过电容的电流ic之间存在着积分关系，即
如能使电路的输出电压uo与电容两端的电压uc成正比，而电路的输入电压ul与流过电容的电流ic成正比，则uo与ul之间即可成为积分运算关系。利用理想运放工作在线性区时"虚短"和"虚断"的特点可以实现以上要求。
在上图中，输入电压通过电阻R加在集成运放的反相输入端，并在输出端和反相输入端之间通过电容C引回一个深度负反馈，即可组成基本积分电路。为使集成运放两个输入端对地的电阻平衡，通常使同相输入端的电阻为 R’ = R (6.3.1)
可以看出，这种反相输入基本积分电路实际上是在反相比例电路的基础上将反馈回路中的电阻RF改为电容c而得到的。
由于集成运放的反相输大端"虚地"，故
uo = - uc
可见输出电压与电容两端电压成正比。又由于"虚断"，运放反相输入端的电流为零，则i1=ic，故
u1 = i1R =icR
即输入电压与流过电容的电流成正比。由以上几个表达式可得
（6.3.2） 式中电阻与电容的乘积称为积分时间常数，通常用符号r表示，即
τ=RC
如果在开始积分之前，电容两端已经存在一个初始电压，则积分电路将有一个初始的输出电压Uo(0)，此时
（6.3.3) 二、输入、输出波形
(一)输入电压为矩形波
如果在基本积分电路的输入端加上一个矩形波电压，则由式(6.3.3)可知，当t≤to时，u1=0,故uo=0；当to
此时uo将随着时间而向负方向直线增长，增长的速度与输入电压的幅度U1成正比，与积分时间常数RC成反比。 当t>t1时，u1=0,由式(6.3.3)可知，此时uo将保持t=t1时的输出电压值不变。
(二)输入电压为正弦波
若u1=Umsinwt，则由式（6.3.3）可得
此时积分电路的输出电压是一个余弦波。uo的相位比u1领先90°。此时积分电路的作用是移相。 三、积分电路的误差
在实际的积分运算电路中，产生积分误差的原因主要有以下两个方面:
一方面是由于集成运放不是理想特性而引起的。例如，当u1=0地，uo也应为零，但是由于运放的输入偏置电流流过积分电容，使uo逐渐上升，时间愈长，误差愈大。又如，由于集成运放的通频带不够宽，使积分电路对快速变化的输入信号反应迟钝，使输出波形出现滞后现象，等等。
产生积分误差的另一方面原因是由积分电容引起的。例如，当u1回到零以后，uo应该保持原来的数值不变，但是，由于电容存在泄漏电阻，使uo的幅值逐渐下降。又如，由于电容存在吸附效应也将给积分电路带来误差，等等。
学习要求：
①掌握比例、求和及积分三种基本运算电路的工作原理和输入、输出关系。。
②了解微分电路、对数与指数电路以及模拟乘法器等的工作原理与用途。
6.1.1 反相比例运算电路
在上图中，输入电压u1经电阻R1加到集成支放的反相输入端，其同相输入端经电阻R2接地。输出电压u0经RF接回到反相输入端。集成运放的反相输入端和同相输入端，实际上是运放内部输入级两个差分对管的基极。为使差动放大电路的参数保持对称，应使两个差分对管基极对地的电阻尽量一致，以免静态基流流过这两个电阻时，在运放输入端产生附加的偏差电压。因此，通常选择R2的阻值为 R2=R1 // RF （6.1.1）
经过分析可知，反相比例运算电路中反馈的组态是电压并联负反馈。由于集成运放的开环差模增益很高，因此容易满足深负反馈的条件，故可以认为集成运放工作在线性区。因此，可以利用理想运放工作在线性区时“虚短”和“虚断”的特点来分析反相比例运算电路的电压放大倍数。
在上图中，由于“虚断”，故i+=0，即R2上没有压降，则u+=0。又因“虚短”，可得
u-= u+=0 （6.1.2）
上述说明在反相比例运算电路中，集成运放的反相输入端与同相输入端两点的电位不仅相等，而且均等于零，如同该两点接地一样，这种现象称为“虚地”。“虚地”是反相比例运算电路的一个重要特点。
由于I-=0，由由图可见
iI= iF
即
上式中u-=0，由此可求得反相比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.3) 下面分析反相比例运算电路的输入电阻。因为反相输入端“虚地”，显而易见，电路的输入电阻为
Rif = R1 (6.1.4)
综合以上分析，对反相比例运算电路可以归纳得出以下几点结论：
1）反相比例运算电路实际上是一个深度的电压并联负反馈电路。在理想情况下，反相输入端的电位等于零，称为“虚地”。因此加在集成运簇输入端的共模输入电压很小。
2）电压放大倍数 , 即输出电压与输入电压的幅值成正比，但相位
相反。也就是说，电路实现了反相比例运算。比值 Auf 决定于电阻RF和R1之比，而与集成运放内部各项参数无关。只要RF和R1的阻值比较准确而稳定，就可以得到准确的比例运算关系。比值Auf 可以大于1，也可以小于1。当RF=R1时，Auf=-1，称为单位增益倒相器。
3）由于引入了深度电压并联负反馈，因此电路的输入电阻不高，输出电阻很低。
6.1.2 同相比例运算电路
在上图中，输入电压u1接至同相输入端，但是为保证引入的是负反馈，输出电压uo通过电阴RF仍接到反相输入端，同时，反相输入端通过电阴R1接地。为了使集成运放反相输入端和同相输入端对地的电阻一致，R2的阻值仍应为
R2 = R1 // RF
同相比例运算电路中反馈的组态为电压串联负反馈，同样可以利用理想运放工作在线性区时的两个特点来分析其电压放大位数。
在上图中，根据“虚短”和“虚断”的特点可知, i_=i+=0, 故
则同相比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.5)
由于引入了电压串联负反馈，因此能够提高输入电阻，而且提高的程度与反馈深度有关。在理想运放条件下，即认为Aod 趋于无穷大，Rid趋于无穷大 ,则同相比例运算电路的输入电阻Rid 趋于无穷大。当考虑Aod≠ ∞，Rid ≠ ∞的一般情况时，经过分析可知，同相比例运算电路的输入电阻为
Rid = （1 + AodF）Rid （6.1.6）
式中Aod和Rid分别是集成运放的开环差模电压增益和差模输入电阻，F是反馈系数，在本电路中
由式（6.1.5）可知，同相比例运算电路的电压放大倍数总是大于或等于1。
由于这种电路的输出电压与输入电压不仅幅值相等，而且相位也相同，二者之间是一种“跟随”关系，所以又称为电压跟随器。
综上所述，对同相比例运算电路可以得到以下几点结论：
1）相比例运算放大电路是一个深度的电压串联负反馈电路。因为u_ = u+= uI，所以不存在“虚地”现象，在选用集成运放时要考虑到其输入端可能具有较高的共模输入电压。
2)电压放大倍数 ,即输出电压与输入电压的幅值成正比，且相位相同。也就是说，电路实现了同相比例运算。Auf也只取决于电阻RF和R1之比，而与集成运放的内部参数无关，所以比例运算的精度和稳定性主要取决于电阻RF和R1的精确度和稳定度。一般情况下，Auf值恒大于1。当RF=0或R1=∞时，Auf=1，这种电路称为电压跟随器。
3）由于引入深度电压串联负反馈，因此电路的输入电阻很高，输出电阻很低。
6.1.3 差分比例运算电路
在上图中，输入电压uI和uI’分别加在集成运放的反相输入端和同相输入端，从输出端通过反馈电阴RF接回到反相输入端。为了保证运放两个输入端对地的电阻平衡，同时为了避免降低共模抑制比，通常要求
R1= R1’
RF= RF’
在理想条件下，由于“虚断”，i+=i_=0，利用叠加定理可求得反相输入端的电位为
而同相输入端的电位为
当满足条件R1 = R1’，RF = RF’ 时，整理上式，可求得差分比例运算电路的电压放大倍数为
(6.1.8)
在电路元件参数对称的条件下，差分比例运算电路的差模输入电阻为
Rif = 2R1 (6.1.9)
由式(6·1·8)可知，电路的输出电压与两个输入电压之差成正比，实现了差分比例运算。其比值旧|Auf|同样决定于电阻RF和R1之比，而与集成运放内部参数无关。由以上分析还可以知道，差分比例运算电路中集成运放的反相输入端和同相输入端可能加有较高的共模输入电压，电路中不存在"虚地"现象。
差分比例运算电路除了可以进行减法运算以外，还经常被用作测量放大器。差分比例运算电路的缺点是对元件的对称性要求比较高，如果元件失配，不仅在计算中带来附加误差，而且将产生共模电压输出。电路的另一个缺点是输入电阻不够高。
以上介绍了反相输入、同相输入和差分输入三种基本形式的比例电路，现将它们的电路组成、电压放大倍数、输入和输出电阻，以及性能特点归纳在表6-1中，以便进行比较。
上述各种比例运算电路的输入、输出关系表达式都是在理想运放条件下得到的，但实际集成运放的各项指标不可能完全理想，因此在上述运算公式中将产生误差。
6.2.1 反相输入求和电路
上图示出了具有三个输入端的反相求和电路。可以看出，这个求和电路实际上是在反相比例运算电路的基础上加以扩展而得到的。 为了保证集成运放两个输大端对地的电阻平衡，同相输入端电阻R’的阻值应为
R’=R1//R2//R3//RF (6.2.1)
由于“虚断”，i_=0，因此
i1+i2+i3=iF
又因集成运放的反相输入端“虚地”，故上式可写为
则输出电压为
6.2.2) 可见，电路的输出电压uo反映了输入电压u11、u12和u13相加所得的结果，即电路能够实现求和运算。如果电路中电阻的阻值满足关系R1=R2=R3=R，则上式成为
6.2.3) 当然，按照同样的原则，可以将求和电路的输入端扩充到三个以上，电路的分析方法是相同的。
通过上面的分析可以看出，反相输入求和电路的实质是利用“虚地”和“虚断”的特点，通过各路输入电流相加的方法来实现输入电压的相加。
这种反相输入电路的优点是，当改变某一输入回路的电阻时，仅仅改变输出电压与该路输入电压之间的比例关系，对其他各路没有影响，因此调节比较灵活方便。另外，由于"虚地"，因此，加在集成运放输入端的共模电压很小。在实际工作中，反相输入方式的求和电路应用比较广泛。
6.2.2 同相输入求和电路
为了实现同相求和，可将各输入电压加在集成运放的同相输大端，但为了引入一个深负反馈，反馈电阻RF仍需接到反相输入端，如上图所示。
由于“虚断”，i＋=0,故对运放的同相输入端可列出以下节点电流方程
又由于"虚短"，即u＋=u_，则输出电压为
(6.2.4)
此式与式(6.2.2)形式上相似，但前面没有负号，可见能够实现同相求和运算。但是，式(6.2.4)中的R十与各输入回路的电阻都有关，因此，当调节某一回路的电阻以达到给定的关系时，其他各路输入电压与输出电压之间的比值也将随之变化，常常需要反复调节才能将参数值最后确定，估算和调试的过程比较麻烦。此外，由于不存在"虚地"现象，集成运放承受的共模输入电压也比较高。在实际工作中，同相求和电路的应用不如反相求和电路广泛。
从原理上说，求和电路也可采用双端输入方式，此时，电路的多个输入信号之间同时可以实现加法和减法运算，但是这种电路参数的调整十分繁琐，因此实际上很少采用。如果需要同时实现加法和减法运算，可以考虑采用两级反相求和电路。
一、电路组成
电容两端的电压uc与流过电容的电流ic之间存在着积分关系，即
如能使电路的输出电压uo与电容两端的电压uc成正比，而电路的输入电压ul与流过电容的电流ic成正比，则uo与ul之间即可成为积分运算关系。利用理想运放工作在线性区时"虚短"和"虚断"的特点可以实现以上要求。
在上图中，输入电压通过电阻R加在集成运放的反相输入端，并在输出端和反相输入端之间通过电容C引回一个深度负反馈，即可组成基本积分电路。为使集成运放两个输入端对地的电阻平衡，通常使同相输入端的电阻为 R’ = R (6.3.1)
可以看出，这种反相输入基本积分电路实际上是在反相比例电路的基础上将反馈回路中的电阻RF改为电容c而得到的。
由于集成运放的反相输大端"虚地"，故
uo = - uc
可见输出电压与电容两端电压成正比。又由于"虚断"，运放反相输入端的电流为零，则i1=ic，故
u1 = i1R =icR
即输入电压与流过电容的电流成正比。由以上几个表达式可得
（6.3.2） 式中电阻与电容的乘积称为积分时间常数，通常用符号r表示，即
τ=RC
如果在开始积分之前，电容两端已经存在一个初始电压，则积分电路将有一个初始的输出电压Uo(0)，此时
（6.3.3) 二、输入、输出波形
(一)输入电压为矩形波
如果在基本积分电路的输入端加上一个矩形波电压，则由式(6.3.3)可知，当t≤to时，u1=0,故uo=0；当to
此时uo将随着时间而向负方向直线增长，增长的速度与输入电压的幅度U1成正比，与积分时间常数RC成反比。 当t>t1时，u1=0,由式(6.3.3)可知，此时uo将保持t=t1时的输出电压值不变。
(二)输入电压为正弦波
若u1=Umsinwt，则由式（6.3.3）可得
此时积分电路的输出电压是一个余弦波。uo的相位比u1领先90°。此时积分电路的作用是移相。 三、积分电路的误差
在实际的积分运算电路中，产生积分误差的原因主要有以下两个方面:
一方面是由于集成运放不是理想特性而引起的。例如，当u1=0地，uo也应为零，但是由于运放的输入偏置电流流过积分电容，使uo逐渐上升，时间愈长，误差愈大。又如，由于集成运放的通频带不够宽，使积分电路对快速变化的输入信号反应迟钝，使输出波形出现滞后现象，等等。
产生积分误差的另一方面原因是由积分电容引起的。例如，当u1回到零以后，uo应该保持原来的数值不变，但是，由于电容存在泄漏电阻，使uo的幅值逐渐下降。又如，由于电容存在吸附效应也将给积分电路带来误差，等等。