欧几里德算法与扩展的欧几里德算法及乘法逆元

以下提到的数都是整数。

欧几里德算法

欧几里德算法用于求解最大公倍数，也就是辗转相除法。其结论非常简洁，对任意整数 a a 、 b b ，有：

gcd(a,b)=gcd(b,a%b) g c d ( a , b ) = g c d ( b , a % b )

其中，%代表取模运算，也就是C++语言中的运算符。因此，欧几里德算法实现起来也非常简单。

typedef long long int llt;
llt gcd(llt a,llt b){
    while( b ){
        llt r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

递归实现更加简洁。

typedef long long int llt;
llt gcd(llt a,llt b){
    return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

实际使用时，只需注意 a a 、 b b 取负值的情况，此时gcd有可能计算出一个负数。

扩展的欧几里德算法

扩展的欧几里德算法是指对任意整数 a a 、 b b ，必然存在整数对 x x 、 y y ，使得：

ax+by=gcd(a,b) a x + b y = g c d ( a , b )

这里注意一条， x x 、 y y 不是唯一的，存在无穷多对数满足上述等式。考虑 a=8,b=12 a = 8 , b = 12 的情况，则有：
8⋅(−1)+12⋅1=4 8 ⋅ ( − 1 ) + 12 ⋅ 1 = 4
8⋅(−4)+12⋅3=4 8 ⋅ ( − 4 ) + 12 ⋅ 3 = 4
⋯ ⋯

扩展的欧几里德算法使用递归实现也非常简单：

llt exEuclid(llt a,llt b,llt&x,llt&y){
    if ( 0 == b ){
        return x=1,y=0,a;
    }
    llt r = exEuclid(b,a%b,x,y);
    llt t = x;
    x = y, y = t - a/b*y;
    return r;
}

迭代实现稍微复杂一点点。

typedef long long int llt;
llt exEuclid(llt a,llt b,llt&x,llt&y){
    llt x0 = 1, y0 = 0;
    llt x1 = 0, y1 = 1;
    x = 0; y = 1;
    llt r = a % b;
    llt q = ( a - r ) / b;
    while( r ){
        x = x0 - q * x1;
        y = y0 - q * y1;
        x0 = x1; y0 = y1;
        x1 = x; y1 = y;
        a = b; b = r; r = a % b;
        q = ( a - r ) / b;
    }
    return b;
}

乘法逆元

使用扩展的欧几里德算法可以很方便的求出乘法逆元。如果 a a 、 b b 的乘积对 p p 的余数为1，则称 b b 在模 p p 的意义下是 a a 的逆元。显然逆元是相互的。对任意非零 a a 当且仅当 a,p a , p 互质， a a 的逆元存在。
已知 a,p a , p ，求 x x ，使得 a⋅x≡1（modp) a ⋅ x ≡ 1 （ m o d p ) 成立。
原方程等价于 ax+py=1 a x + p y = 1 ，如果 a,p a , p 互质，则可以使用扩展的欧几里德算法求出 x x 。

//returns the inverse of a mod p satisfied with 1 == ax%p
//it will be success only when a and p are co-prime
inline llt inv(llt a,llt p){
    llt x,y;
    llt r = exEuclid(a,p,x,y);
    if ( r != 1 ) return 0;
    x = x % p;
    if ( x < 0 ) x += p;
    return x;
}