向量点乘公式推导和几何解释

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1.向量点乘公式推导和几何解释

01.向量点乘(dot product)是其各个分量乘积的和，公式：

用连加号写：

02.几何解释：

点乘的结果是一个标量，等于向量大小与夹角的cos值的乘积。

a•b = |a||b|cosθ

如果a和b都是单位向量，那么点乘的结果就是其夹角的cos值。

a•b = cosθ

03.推导过程：

假设a和b都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2.

a•b = ax*bx + ay*by 

=  (|a|*sinθ1) * (|b| * sinθ2) +   (|a| * cosθ1) * (|b| * cosθ2)

= |a||b|(sinθ1*sinθ2 + cosθ1*cosθ2)

=|a||b|(cos(θ1-θ2))

= |a||b|cosθ

2.点乘交换率和分配率的推导

01.交换率

   guan：这个图可以这样理解：点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。2016年12月11日补充：a.b 是b在a上面的投影，b.a 是a在b上面的投影。

02.分配率

 guan：这个图可以这样理解：点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。2016年12月11补充：a 点乘 c 可以理解为c在a上的投影。

注：更多内容参见：<3D math primer for graphics and game development  second edition>点击打开链接