LeetCode Dungeon Game

LeetCode解题之Dungeon Game

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原题

公主被困在地牢（可以理解为矩阵或者二维数组）的右下角，骑士从左上角出发去救公主。骑士拥有一定的初始血量，如果途中他的血量少于等于0，那么营救失败。地牢中的每个格子都有一个数字，负数表示骑士收到了伤害，正数（可能为0）表示骑士回复了一定的血量。现在规定骑士只能向右或者向下前进，求骑士的初始血量至少为多少才能救出公主。

注意点：

• 骑士的血量没有上限规定
• 每格地牢都有数字，包括起点和终点。

例子:

输入:

-2 (K)   |  -3   |  3
-5     |  -10  |    1
10     |  30   |    -5 (P)

输出: 7 (右->右->下->下)

解题思路

一看就是典型的动态规划问题，不过这道题从左上角开始递推不好推，因为要考虑两个因素，一是剩余的血越多越好（血量多可以使得以后的路程中血量更加高一点），行进过程中血量最低值越高越好（这个直接影响到结果），这两个因素都要考虑，且相互影响。其实我们可以从右下角开始推，dp表示如果从该格子出发，最少要多少初始血量。此时的递归关系为:

dp[j][i] = max(min(dp[j + 1][i], dp[j][i + 1]) - dungeon[j][i], 1)

我们来梳理一下这个关系，在(j,i)位置出发最少的初始血量dp[j][i]，而从它右边的格子出发最少的初始血量为dp[j][i+1]，从下边的格子出发的最少血量为dp[j+1][i]。为了使dp[j][i]尽可能小，我们要使得dp[j][i] + dungeon[j][i] = min(dp[j + 1][i], dp[j][i + 1]。同时dp[j][i]又必须大于0。

AC源码

class Solution(object):
    def calculateMinimumHP(self, dungeon):
        """
        :type dungeon: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        n = len(dungeon)
        m = len(dungeon[0])
        dp = [[0 for __ in range(m)] for __ in range(n)]
        dp[-1][-1] = 1 if dungeon[-1][-1] > 0 else 1 - dungeon[-1][-1]
        for i in range(m - 2, -1, -1):
            dp[-1][i] = max(1, dp[-1][i + 1] - dungeon[-1][i])
        for j in range(n - 2, -1, -1):
            dp[j][-1] = max(1, dp[j + 1][-1] - dungeon[j][-1])
        for j in range(n - 2, -1, -1):
            for i in range(m - 2, -1, -1):
                dp[j][i] = max(min(dp[j + 1][i], dp[j][i + 1]) - dungeon[j][i], 1)
        return dp[0][0]


if __name__ == "__main__":
    assert Solution().calculateMinimumHP([[-2, -3, 3], [-5, -10, 1], [10, 30, -5]]) == 7

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