SDU暑期集训排位（8）

A. A Giveaway

签到

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B. Game of XOR

做法

• dp[G][L][R]表示在倒数第G代，左边的数是L，右边的数是R，下面共有多少个0和1
• 区间和转换成两次前缀和和一次单点查询
• 利用dp值，沿着向下走就可以算出答案了

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C. National Bomb Defusing Squad

做法

• 答案=(距离不大于R的点对个数)/n
• 预处理距离并排序，把询问离线并排序，依次查询
• \(O(n^2logn)\)要卡一卡才能过
• 可以桶排序

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D.Rational Grading

模拟

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E. Balanced String

题意 给一个多重集，构造字典序最小的序列，使得，前缀和的多重集等于此多重集。

做法

• 贪心，逐位考虑，如果能添加左括号就添加左括号，不能则添加右括号。
• 正确性不会证。
• 一个多重集，支持动态插入元素，删除元素，查询是否存在括号序列能得到之，怎么做啊？
• 证着证着人睡着了，就这样吧。

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F. Number of Connected Components

做法

• 线筛最小质因子然后对每个数分解质因数，并查集维护连通性
• 注意每个1都要加进答案里

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G. Extreme XOR Sum

题意 给一个序列，多组查询，每组查询一个区间，取出区间内的元素，相邻两项异或直到剩下一个数字。

做法

• 画杨辉三角。
• 把区间中的元素填到最底层。
• 考虑一个元素，如果到最上层的路径方案数为奇数，则有贡献。
• 区间 \([l,r]\)，如果 \(\binom{r-l+1}{x-l}\) 为奇数，那么第 \(l+x\) 个位置对答案有贡献。
• lucas 定理、Kummer 定理或者预处理 1~x 2 的幂出现多少次都可以。

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H. Harmonic Matrix

题意 要求交换最多2.5RC次，使得矩阵每行每列的相邻元素的大小关系相同

待定做法

• 兴奋的A题，然后没数据.....
• 用随机数据对拍没得问题
• 首先，每行每列的单调性一定是10交替的，不然交换的次数极可能会超限
• 然后考虑怎么维护这样的序列
• 我们的做法，假设当前需要考虑的位置为（i，j)，然后轮流check如下相邻的四对，存在不合法情况就交换
• \((i，j) (i, j-1)\)
• \((i, j - 1) (i - 1,j-1)\)
• \((i，j)(i - 1, j)\)
• \((i-1, j) (i-1,j+1)\)
• 显然如上的构造方法在极限情况下是4RC的，但我们可以枚举行列起始的单调性，大但假设一定存在一个很小的情况

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I. In the Kingdom of Hirak

题意 每个人有 p 的概率变成憨憨，憨憨会被抓，如果一个SCC里有超过 k 个憨憨，整个SCC被抓，求被抓人数的期望。

做法

• 独立考虑每个 SCC。
• 枚举这个 SCC 里有几个憨憨。

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J. Prime Distance

做法

• 两个不为2的质数相加一定不是质数，所以距离差只能由2和一个其他质数组成
• 放在两个位置：[p]，p为质数
• 放在三个位置：[p,2]或[2,p]，p,p+2为质数
• 放在四个位置：[2,p,2]，p,p+2,p+4为质数

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K.8-ball Rack

题意 摆球

做法 一道很烦人的设计状态后跑最短路的题

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