使用全加器实现补码的加减运算

引言：

我们都知道，在计算机中的加减运算都是由补码来实现的，那么，计算机是如何运用电路来实现补码的加减的呢？在计算机中，所有的加减运算其实都变成了加法后来参与运算的，那么仅需要一个加法器就可以实现了。请看下面内容。

（一）全加器的构成

1.什么是全加器

全加器英语名称为full-adder，是用门电路实现两个二进制数相加并求出和的组合线路，称为一位全加器。一位全加器可以处理低位进位，并输出本位加法进位。多个一位全加器进行级联可以得到多位全加器。

（1）一位全加器逻辑电路图如下

该一位全加器的求和部分Si由两个异或门组成,进位部分Ci+1由与非门组成。

（2）简单的直观表示

全加器由两个二进制数字Ai,Bi和一个进位输入Ci相加,产生一个和输出Si,以及一个进位输出Ci＋1。

下表中列出一位全加器进行加法运算的输入输出真值表。

（3）逻辑表达式

根据所示的真值表,三个输入端和两个输入端可按如下逻辑方程进行联系：

Si＝Ai⊕Bi⊕Ci
Ci＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi

看到这里你想起了什么？是不是补码运算的相加、进位、判断溢出？

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（二）补码运算的二进制加法/减法器的逻辑结构

1.补码加减运算法则

（1）对于定点数的加法

定点小数：[X]补+[Y]补=[X+Y]补     （mod 2）
定点整数：[X]补+[Y]补=[X+Y]补 	（mod 2^n+1）

（2）对于定点数的减法

定点小数： [X-Y]补=[X]补+[-Y]补	（mod 2）
定点整数： [X-Y]补=[X]补+[-Y]补	（mod 2^n+1）

可以看出，在补码运算中，减法都变成了了加上该补码负数的形式。

（3）补码取负数：

即[X]补包括符号位在内的各位取反，末位加一后变成[-X]补

那么如何使用电路实现？如下

2.多位全加器实现补码加减运算

（1）图中字母代表含义

字母	含义
M	方向控制 （即控制做加\减法运算）
An	输入的 [X]补
Bn	输入的 [Y]补
Cn	进位输入\输出
Sn	结果输出

（2）实现加减

1.加法运算

当时加法运算时，我们的控制输入M就会起到相应的作用，当M=0时，他与Bn相连，做异或处理，此时可见结果就等于Bn本身，此时Bn输入到一位的全加器中，与An输入相加，在n=0处还加上了M的0，对结果无影响。

2.减法运算

而当M=1时，进行减法运算，此时的Bn与M=1进行异或，得到的就是Bn的反码，而最低位的M=1做一个加数进入到运算中就是：An+(Bn+1)，此时的1在最低位。那么就可以看到，其实这时的M作用一就是将[Y]补转换成[-Y]补，使整个电路做补码的减法运算。

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（三）判断溢出

而在这里，就是采用的单符号位法来判断是否溢出

（1）单符号位判断法

1.当最高数值位产生进位而符号位不产生进位时，产生上溢；

2. 当最高数值位不产生进位而符号位产生进位时，产生下溢。

简单来讲也就是：

总：只要最高数值位与符号位 “都产生进位或都不产生进位（同号）” 时不溢出，否则溢出。

那么我们从电路图中就可以看出：

1.若Cn与Cn-1同号，则经过异或门结果为0，不溢出；

1.若Cn与Cn-1异号，则经过异或门结果为1，溢出；

Cn我们在前面说过，就是输出的进位。

（2）实例图

如图所示，这次做的为：(+8) + (+12) = 20 即 001000 + 001100 = 010100 没有溢出

—The End—