【高数】交换二次积分次序时，为什么要观察上下限大小关系？

一、起因

看到一道题，对解题过程表示迷惑，为什么需要进行上下限的调整？本质上是不理解概念，搞不清楚这几者互相转化的规律。突然就对二次积分、累次积分、二重积分，几个词产生了深深的怀疑。

• 交换二次积分次序时，为什么需要观察上下限大小关系？
• 二次积分、累次积分和二重积分分别是什么意思？区别与联系是什么？

二、概念理解

1. 累次积分

   多次单变量积分。

2. 二次积分

   两次单变量积分。虽然被积函数中含有x和y两个变量，但是每次积分，都把其一当作常数，而对另一个变量积分。第一次积分时，是对一个变量的积分，可以理解为偏积分，得到的是一个函数；第二次积分时，对另一变量积分，得到一个数字。

   二次积分是一种积分运算，是代数意义上的，仅仅对函数和数字进行运算。

3. 二重积分
   

   因为二重积分的几何背景是，曲顶柱体的体积（顶的高度是因变量）或平面薄片的质量（面密度是因变量）。这两种背景中，Δσi表示的都是面积微元，所以必须是Δσi>0，也即dσi>0。在直角坐标中，也即是dxdy>0，因此积分时注意上下限的相对大小，必须是上限≥下限，才可以表示二重积分。

   简单说，二重积分是关于面积的积分。

   同时，二重积分要求函数f(x,y)在有界闭区域D上的有界函数，此时才可积。

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注：一元积分中，dx=Δx，表示增量，可以为正或负。如Δx→0，则表示从正和负两个方向趋向0，所以可以是负值。一元积分要求函数是：①区间上连续或者②区间上有界且仅有限个间断点。

4. 区别
   二次积分是一种对函数的积分运算，是两次单变量积分，积分结果是一个数，且无几何意义。

   二重积分是对面积的积分，是以面积微元积分的，积分结果是一个数，表示和面积微元有关的、具有几何意义的质量或体积等的值。

5. 联系
   有篇文章讲解了二者的关系。其中有例子可以帮助理解。
   指路链接：《二重积分与累次积分》
   https://wenku.baidu.com/view/431fe61d2b160b4e767fcf94.html

总结下其中的结论包括：

• 二次积分的积分次序交换后，积分不一定存在。
  • 若交换次序后的积分存在，不一定与原来相等。
    • 当交换后积分存在且相等时，二重积分不一定存在。
• 当二重积分和其中一个二次积分存在时，这二者相等，但另一个二次积分不一定存在。
• 当函数 f(x,y) 在矩形区域 { (x,y) | a≤x≤b, c≤y≤d } 上连续时，二重积分和两个二次积分均存在，且相等。

三、解题

题目摘自《高数18讲》。

如果题目要求对二次积分交换积分次序，则默认该函数是可以交换次序且值相等。
那和二重积分有什么关系呢？二次积分无所谓上下限的大小，可以直接进行代数运算。

但是！交换积分次序时，需要重新选定上下限，那么就需要搞清楚它是从哪个二重积分来的，因为二重积分的dxdy>0，所以有着严格的向右积分或是向上积分的规定，也即上限必须要大于等于下限的意思。这时需要对积分的上下限先进行调整，不然易出现正负号混乱的情况。

在两次积分的上限都≥下限的情况下，才表示二重积分，于是便可以重新选择积分次序！！！

四、小结

1. 二次积分是对函数的运算，二重积分是对面积微元的积分！
2. 当函数 f(x,y) 在矩形区域 { (x,y) | a≤x≤b, c≤y≤d } 上连续时，二重积分和两个二次积分均存在，且相等！
3. 在两次积分的上限都≥下限的情况下，才表示二重积分，于是便可以重新选择积分次序！

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P.S. 这篇博客引用了其他文章的结论，在是否还是原创上纠结。
csdn为什么不出一个部分引用的选择呢，文章分类居然只有原创、转载、翻译。
强迫症觉得哪一类都不算，纠结中选了转载，唔。

参考文献：[1] 张慧琴. 二重积分与累次积分[J]. 吕梁学院学报, 2001(1).