武汉理工大学-数值分析-(1)插值方法
文章目录
- 实验目标
- 编程语言与扩展库
- 拉格朗日插值法
- 牛顿插值法
- 最小二乘线性拟合
- 源代码整合
- 运行结果
- 写在最后
实验目标
用编程语言编程实现以下算法：
1.已知插值节点序列，用 拉格朗日 (Lagrange) 插值 多项式计算函数在点的近似值。
2.已知插值节点序列，用 牛顿 (Newton) 插值 多项式计算函数在点的近似值。
3.用 线性函数拟合 给定的数据。
编程语言与扩展库
语言：C++语言
导入扩展库：Eigen库
在项目名称处 右键->属性->VC++目录->包含目录->选择eigen模块所在文件夹路径，即可导入模块；
eigen资源文件可以在eigen官网上进行下载：http://eigen.tuxfamily.org/index.php?title=Main_Page
拉格朗日插值法
//拉格朗日插值法
//参数：插值点 points，计算点 x，插值点个数 n
double Lagrange(vector<Vector2d> points, double x, int n)
{
//运算结果
double result = 0;
//插值基函数
double L;
for (int k = 0; k < n; k++) {
//计算插值基函数
L = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
//叠乘 (x-xj)/(xk-xj)
if (j != k) {
L = ((x - points[j][0]) / (points[k][0] - points[j][0]))*L;
}
}
//叠加 Lk * yk
result += L * points[k][1];
}
return result;
}
计算公式：
算法流程图：
牛顿插值法
算法采用 计算差商表 的方法实现：
//牛顿插值法
double Newton(vector<Vector2d> points, double x, int n)
{
//运算结果
double result = 0;
//差商表
MatrixXd DQTable(n, n + 1);
DQTable.setZero();
//构造差商表 (i为行坐标 j为列坐标)
for (int i = 0; i < n; i++) {
//第0列为各插值点的x值
DQTable(i, 0) = points[i][0];
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
//第1列为各插值点的y值
DQTable(i, 1) = points[i][1];
}
//计算各阶差商
for (int j = 2; j < n + 1; j++) {
for (int i = j - 1; i < n; i++) {
DQTable(i, j) = (DQTable(i, j - 1) - DQTable(i - 1, j - 1)) / (DQTable(i, 0) - DQTable(i - j + 1, 0));
}
}
// w = (x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) 叠乘实现
double w = 1;
for (int k = 0; k < n; k++) {
if (k > 0) {
w = w * (x - points[k - 1][0]);
}
// 叠加 w * k阶差商 (差商表对角线)
result += w * DQTable(k, k + 1);
}
return result;
}
计算公式：
算法流程图：
最小二乘线性拟合
算法采用 法方程法 计算：
//一次多项式曲线拟合 y = a + b*x
//返回参数 a、b 组成的向量
Vector2d CurveFit(vector<Vector2d> points, int n)
{
double sum_x = 0; //x总和
double sum_x2 = 0; //x^2总和
double sum_y = 0; //y总和
double sum_xy = 0; //x * y总和
Matrix2d A; //2*2矩阵
Vector2d b; //向量
Vector2d x; //求解向量
for (int i = 0; i < n; i++) {
sum_x += points[i][0];
sum_x2 += pow(points[i][0], 2);
sum_y += points[i][1];
sum_xy += points[i][0] * points[i][1];
}
A(0, 0) = n;
A(1, 0) = A(0, 1) = sum_x;
A(1, 1) = sum_x2;
b(0) = sum_y;
b(1) = sum_xy;
//求解方程 Ax = b
x = A.lu().solve(b);
return x;
}
计算公式：对于 拟合曲线 y = a + bx
源代码整合
#include 运行结果
三个算法的实验数据分别存储在F盘的 三个txt文件 中，
通过 函数 ReadPointData 读取点数据。
points1.txt：（拉格朗日插值）
points2.txt：（牛顿插值）
points3.txt：（最小二乘线性拟合）
结果：
写在最后
声明：本文内容来源于武汉理工大学2019-2020学年数值分析方法课程实验，仅供学习参考。
如有不足地方，还请指出。祝愿读者能够在编程之路上不断进步！