Matlab对指定参数的曲线进行非线性拟合

Matlab拟合曲线的方式

Matlab拟合曲线的方式有很多种，有三次样条插值、线性插值、多项式拟合等等。多项式拟合由于函数由$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$组成，若采用最小二乘法拟合，对于参数$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$来说，方程组$f_n(x)=0$是一个线性方程组，可以用Matlab求逆矩阵的方法，得到方程的最小二乘解。但如果参数构成的方程组并不是线性方程组，则不可以用矩阵的方法求得。使用样条插值和线性插值固然可以，但是得不到需要的表达式，此时使用非线性拟合方法解决最为合适。
通常，我们在实验前对模型都有一个假设，例如这是一个指数衰减的曲线，或者指数衰减振荡的曲线，或者是一个周期振荡的由若干个频率的三角函数叠加组成的信号。此时我们只需要指定需要估计的参数，代入数据求解即可。以下就是一个点典型的例子。

步骤解读

这个例子的数据是一个对一个惯性系统给定一个阶跃输入，对系统的输出进行采集，并辨别这个系统。
(xdata,ydata)是一个一阶系统阶跃响应的采集数据,ydata是输出值，xdata是时间戳。由于系统是阶跃响应，我们假定系统的传递函数是$$\frac{K}{T_{p}s+1}$$，显然需要辨别的两个参数是K和$T_p$。
该系统在阶跃响应输入下的始于表达式为$$c(t)=K(1-{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{t}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{P}}}})$$，因此需要建立的函数fun如下

fun=@(xdata,ydata)(x(1)*(1-exp(-xdata/x(2))))

是一个指定参数的函数，我们需要求解的参数就是x(1)和x(2)，其中x返回值是一个二元参数向量，可直接调用fun函数求得y根据时间戳生成的辨识系统的计算值。并与实验值ydata画在一张图进行比较。

clc
close all
plot(xdata,ydata);xlim([0,1]);hold on;%实际曲线绘图
fun=@(x,xdata)(x(1)*(1-exp(-xdata/x(2))));%估计函数
x0=[1500,0.025];%初始估计值[x(1),x(2)]
x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);%非线性函数拟合
y=fun(x,xdata);%代入估计的值，并获得函数点
plot(xdata,y);xlim([0,1]);%绘制估计曲线
title(['[K,Tp]=',num2str(x)]);%标注估计的参数

绘制的预估曲线如下：(蓝色的是实验数据，红色的是拟合曲线)

可以发现，如果沿着实验曲线的大致趋势，拟合的指数逼近曲线如红色线所示，可见辨识的参数较为准确。