多重背包I

问题描述
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 v_i, w_i, s_i，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 < N, V ≤ 100
0 < v_i, w_i, s_i ≤ 100

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例
10

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1、朴素解法
(二维状态)：

和完全背包类似，只不过对使用次数加了限制。

状态转移方程
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k)

#include 
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N], w[N], s[N], f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
            
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

2、空间优化
(一维状态)：

状态转移方程
f[j] = max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k)

#include 
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N], w[N], s[N], f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j --)
            for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
            
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}