动态规划算法解决流水作业调度

1、问题描述

有n个作业（编号为1～n）要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi（1≤i≤n）。
流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。可以假定任何作业一旦开始加工，就不允许被中断，直到该作业被完成，即非优先调度。
输入格式：输入包含若干个用例。每个用例第一行是作业数n（1≤n≤1000），接下来n行，每行两个非负整数，第i行的两个整数分别表示在第i个作业在第一台机器和第二台机器上加工时间。以输入n=0结束。
输出格式：每个用例输出一行，表示采用最优调度所用的总时间，即从第一台机器开始到第二台机器结束的时间。
输入样例：
4
5 6
12 2
4 14
8 7
0
输出样例：
33

2、算法分析

2.1 思路分析如下:

流水作业调度问题的Johnson算法：
（1）N1={i|t[i,1]=t[i,2]};
（2）将N1 中作业依t[i,1]的非减序排列；将N2中作业依t[i,2]的非增序排列；
问题分析：
当输入的作业数目为4时：
每个作业在M1上执行的时间为t[i,1]，在M2上执行的时间为t[i,2]，输入的数据为：

算法按照t[i,1] 当执行t[i,1]>t[i,2]的作业时，要保证最后一个作业在M2上的执行时间最短，所以作业2，4是按照t[i,2]非增序排列，保证了作业2的t[i,2]是它们两个当中最小的一个。
算法在计算执行时间的过程如下图所示:

作业执行次序为：3，1，4，2
1)执行3时：M1上运行4个时间后交给M2，这时M2空闲了4个时间并开始工作。
所以此时要想将3做完需要18（4+14）个时间。
2)执行1时：M1上运行5个时间后，M2还在继续运行3，并没有结束。M1结束时间为9，而M2结束1的时间为24，即<9,24>。
所以此时要想把3，1做完，需要24（6+18）个时间。
3)执行4时：M1上运行8个时间后，M2还在继续运行3，并没有结束。M1的结束时间为17，而M2结束4的时间为31，即<17,31>
所以此时要想把3，1，4做完，需要31（7+24）个时间。
4)执行2时：M1上运行12个时间后，M2还在继续运行4，并没有结束。M1的结束时间为29，而M2结束2的时间为33，即<29,33>.
所以此时要想把3，1，4，2做完，需要33（2+31）个时间。

所以，根据运行结果，作业执行时间为33. 作业执行次序为3，1，4，2

2.2 代码分析流程图如下:

2.3 代码如下:

/*
1)先执行t[i,1] 即t[i,1]越小，越靠前执行;
2)执行t[i,1]>=t[i,2]时，要保证最后一个作业在M2上执行时间最短，所以按照减序排列
*/
#include
#include
#include
#define N 100
using namespace std;

struct node {
int time;//执行时间
int index;//作业序号
bool group;//1代表第一个机器，0代表第二个机器
};

bool cmp(node a,node b)
{//升序排序
return a.time }
int main()
{
int i,j,k,n;
int a[N]={0},b[N]={0};
int best[N];//最优调度序列
node c[N];
scanf("%d",&n);
for(i=0;i scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
}
for(i=0;i c[i].time=a[i]>b[i]?b[i]:a[i];
c[i].index=i;
c[i].group=a[i] }
sort(c,c+n,cmp);//按照c[]中作业时间增序排序
j=0,k=n-1;
for(i=0;i if(c[i].group) { //第一组，从i=0开始放入到best[]中
best[j++]=c[i].index;//将排过序的数组c，取其中作业序号属于N1的从前面进入，实现N1的非减序排序
}
else {
best[k–]=c[i].index;//将排过序的数组c，取其中作业序号属于N2的从后面进入，实现N2的非增序排序
}
}
j=a[best[0]];//最优调度序列下的消耗总时间，第一个选取M1上的工作时间最少的
k=j+b[best[0]];
for(i=1;i j+=a[best[i]];
k=j }
printf("%d\n",k);
for(i=0;i printf("%d “,best[i]+1); //输出最优序列
}
printf(”\n");
return 0;
}

2.4 运行结果:

3、时空效率分析

算法的主要计算时间在对作业集的排序上，在本算法中，我们使用冒泡排序法(sort)，因此，在最坏情况下算法所需要计算的时间为O(nlogn)。所需要的空间为O(n)。