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树 (Tree)
树是n(n>=0)个结点的有限集,n=0时称为空树。树的定义使用了递归的方式,树是数据结构中的重中之重。
非空树特性:
1)有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点,根有且仅有一个;
2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。
结点
结点是数据结构中的基础,是构成复杂数据结构的基本组成单位
度
结点拥有的子树数目称为结点的度。
结点关系
层次
从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。
树的深度
树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图中树的深度为4。
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,二叉树由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。每个结点最多有两个孩子结点。
二叉树特点
二叉树性质
1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)
2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)
3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。
4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。
5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:
(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;
(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
斜树
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
满二叉树
在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树是一种特殊的完全二叉树
。顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。
顺序存储一般适用于完全二叉树。其他二叉树可能有严重的空间浪费。
二叉链表
使用链式存储方式,将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。
二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。
按时访问次序有四种遍历法:
前序遍历
从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,第二次不输出数据,按照先向左再向右的方向访问,从根节点向下先遍历完最左的节点。
遍历过程:
1)从A开始遍历,第一次到达A,输出A。同理输出B
2)B访问后,B有左子结点D,则访问D输出D。D有左子结点H,访问输出H
3)H是叶子结点,访问完毕后返回D,继续访问D的右结点E,输出E。同理访问输出J。
4)从E返回到B,返回到A,访问A的右子结点,最后一次输出C、F、G
输出结果: ABDHIEJCFG
中序遍历
从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,当访问到叶节点时也输出数据,按照先向左在向右的方向访问。
遍历过程:
1)如前序遍历一样,遍历到H时,H是叶节点输出H。
2)从H返回到D,第二次遍历D,输出D。同理输出叶节点I。
3)返回第二次访问B,输出B。同理输出J、E。
4)返回第二次访问A ,同理输出F、C、G。
输出结果:HDIBJEAFCG
后序遍历
从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,但当访问到叶节点时也输出数据,按照先向左在向右的方向访问。当结点的子节点被输出后,可以视作将该节点的该子节点移除,两个子节点都被输出后,该节点也相当于是个叶节点了。
遍历过程:
1) 如同中序遍历中,第一个叶节点输出H,第二个节点输出I。
2)从I返回D时是第三次访问D,输出D。
3)接着访问输出的叶节点是J,返回E后是第二次访问,此时J已输出,可将E看成一个叶节点输出E
4)接下来同理输出的是B、F、G、C、A
输出结果:HIDJEBFGCA
层次遍历
按照树的层次自上而下的遍历二叉树,一层一层的遍历完数据。
输出结果:ABCDEFGHIJ
首先要清楚几种二叉树遍历的特性。
考题:若一棵二叉树的后序遍历为ABCDFE,中序遍历为ABCEDF,请画出这棵二叉树。
分析:后续遍历为ABCDFE,则根节点为E。 中序遍历为CBAEDF,则根节点E左边为CBA,右边为DF。根据特性可画出树的结构图如下:
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