Linear Algebra - Lesson 8. 求解Ax=b: 可解性和解的结构

Schedule

• Complete solution of Ax=b
• Rank r
• r=m : Solution & Exists
• r=n : Solution is Unique

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Complete solution of Ax=b

以上节课中的例子为例,方程式组如下:

x1+2x2+2x3+2x4=b12x1+4x2+6x3+8x4=b23x1+6x2+8x3+10x4=b3

方程式组的 增广矩阵如下,经过消元后得到:
Argumented Matrix =

[A|b]=⎡⎣⎢1232462682810b1b2b3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢100200222244b1b2−2b1b3−3b1⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎤⎦⎥⎥

可以看出,如果方程式组有解的话,行三必须得到满足,即 b3−b2−b1=0

假设取 b=⎡⎣⎢156⎤⎦⎥ ,可以将原增广矩阵转换为:
Argumented Matrix =

[A|b]=⎡⎣⎢⎢100200220240130⎤⎦⎥⎥

这样的话,行三的方程组可以得到解. 那么什么样的 b 可以满足方程式组?

Solvability is the condition on b .

可解性指的是 b 满足什么条件,才能使得 Ax=b 始终有解.

Ax=b is solvable if when exactly when b is in the column space of A .

The same combination of the entries of b must give 0(not zero row, but number 0).

以上两种描述是等价的,均为描述方程组有解的条件.

Question Mark Here:
这里一直不明白的问题是,为什么 b 属于 A 的列空间或者 b 满足 A 的线性组合就可以说方程式组有解?
以上述例子为例,即使满足行三方程式, 那么行一和行二就一定会满足么?
实际上是的,因为在上节课中 Ax=0 的学习中可以知道,自由列的值变化,不影响解.
所以在增广矩阵经过行消元后得到的矩阵中,如果行三,也就是零行得到满足,则剩余其他非零行可以通过自由变量赋值0从而求得特定解.

Find complete solution to Ax=b - 求 Ax=b 的所有解

在确定有解后,该怎么求解?
Step one : A particular solution.

Set all free variable to zero and then solve Ax=b for pivot variables.

之前的例子中可以将 x2 和 x4 设置为0(自由变量),可以回代 求得 x1=−2,x3=1.5 ,从而求得一个特解(particular solution).

xparticular solution=⎡⎣⎢⎢⎢−201.50⎤⎦⎥⎥⎥

Step two : add on X anything out of the null space.
Step three : 从而求得 x=xp+xn

The complete solution is the one particular solution plus any vector out of the null space.

Axp=b 和 Axn=0 两者相加,同样得到 A(xp+xn)=b
对于方程组某解,其与零空间内任意向量之和仍为解.

xcomplete=⎡⎣⎢⎢⎢−201.50⎤⎦⎥⎥⎥+c1⎡⎣⎢⎢⎢−2100⎤⎦⎥⎥⎥+c2⎡⎣⎢⎢⎢20−21⎤⎦⎥⎥⎥

xp 是一个特定解, xn 是整个零空间,
注: 零空间的一组基向量,即教授所说的这些特殊解,往往也称为 基础解系
Ax=b 特解表示为 particular solution(特定解), Ax=0 基为 special solution(特殊解).

m×n matrix A of rank r - 秩为 r 的 m×n 矩阵

可以得出 r 与 m 之间初步的关系是 r≤m , 因为主元的个数不会超过行的个数.同样, r≤n .

对于满秩的情况,需要分为如下几个情况考虑:

1. Full column rank means r=n<m
   这种情况下每列均有一个主元,从而没有自由变量. 这样的话零空间中将会只有零向量.
   那么对于 Ax=b 来说,其全部解为特解 xp 一个(如果有解的话), 将其称为unique solution(唯一解).
   也就是说,对于 r=n 的情况下,其解的情况为0或者1个解(特定解).
   举个例子:

2. Full row rank means r=m<n
   这种情况下每行均有一个主元,自由变量数为 n−r 个.
   因为在消元过程中没有产生零行,所以求解 Ax=b 对于 b 来说没有要求(Can solve Ax=b for every right-hand side),所以必然有解.
   举个例子(上个例子的转置):

   A=[13216151](r=2)→R=[102−56−175−14]

3. r=m=n
   零空间中只有零向量.
   举个例子:
   

   A=[1321]→R=I
   
   必然有解,唯一解.

总结如下
- r=m=n→R=I→ 1 solution(特定解)
- r=n<m→R=I/0→ 0 or 1 solution(特定解)
- r=m<n→R=[I|F]→ 1 or infinitely many solutions(特定解或特定解和零向量空间的组合)
- r<m,r<n→ 0 or infinitely many solutions(特定解和零向量空间的组合)

The rand tells everything about the number of solutions .