高斯消元模板

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#include<stdio.h>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<string.h>

#include<math.h>

using namespace std;



const int MAXN=50;







int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵

int x[MAXN];//解集

bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元







/*

void Debug(void)

{

    int i, j;

    for (i = 0; i < equ; i++)

    {

        for (j = 0; j < var + 1; j++)

        {

            cout << a[i][j] << " ";

        }

        cout << endl;

    }

    cout << endl;

}

*/





inline int gcd(int a,int b)

{

    int t;

    while(b!=0)

    {

        t=b;

        b=a%b;

        a=t;

    }

    return a;

}

inline int lcm(int a,int b)

{

    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出

}



// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，

//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)

//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.

int Gauss(int equ,int var)

{

    int i,j,k;

    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.

    int col;//当前处理的列

    int ta,tb;

    int LCM;

    int temp;

    int free_x_num;

    int free_index;



    for(int i=0;i<=var;i++)

    {

        x[i]=0;

        free_x[i]=true;

    }



    //转换为阶梯阵.

    col=0; // 当前处理的列

    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)

    {// 枚举当前处理的行.

// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)

        max_r=k;

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {

            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;

        }

        if(max_r!=k)

        {// 与第k行交换.

            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);

        }

        if(a[k][col]==0)

        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.

            k--;

            continue;

        }

        for(i=k+1;i<equ;i++)

        {// 枚举要删去的行.

            if(a[i][col]!=0)

            {

                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));

                ta = LCM/abs(a[i][col]);

                tb = LCM/abs(a[k][col]);

                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加

                for(j=col;j<var+1;j++)

                {

                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;

                }

            }

        }

    }



  //  Debug();



    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).

    for (i = k; i < equ; i++)

    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.

        if (a[i][col] != 0) return -1;

    }

    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.

    // 且出现的行数即为自由变元的个数.

    if (k < var)

    {

        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.

        for (i = k - 1; i >= 0; i--)

        {

            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.

            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.

            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.

            for (j = 0; j < var; j++)

            {

                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;

            }

            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.

            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.

            temp = a[i][var];

            for (j = 0; j < var; j++)

            {

                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];

            }

            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.

            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.

        }

        return var - k; // 自由变元有var - k个.

    }

    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.

    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.

    for (i = var - 1; i >= 0; i--)

    {

        temp = a[i][var];

        for (j = i + 1; j < var; j++)

        {

            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];

        }

        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.

        x[i] = temp / a[i][i];

    }

    return 0;

}

int main(void)

{

    freopen("in.txt", "r", stdin);

    freopen("out.txt","w",stdout);

    int i, j;

    int equ,var;

    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)

    {

        memset(a, 0, sizeof(a));

        for (i = 0; i < equ; i++)

        {

            for (j = 0; j < var + 1; j++)

            {

                scanf("%d", &a[i][j]);

            }

        }

//        Debug();

        int free_num = Gauss(equ,var);

        if (free_num == -1) printf("无解!\n");

   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");

        else if (free_num > 0)

        {

            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);

            for (i = 0; i < var; i++)

            {

                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);

                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);

            }

        }

        else

        {

            for (i = 0; i < var; i++)

            {

                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);

            }

        }

        printf("\n");

    }

    return 0;

}