SVM算法编程练习

SVM算法编程练习

一、支持向量机SVM

Svm（support Vector Mac）又称为支持向量机，是一种二分类的模型。当然如果进行修改之后也是可以用于多类别问题的分类。支持向量机可以分为线性核非线性两大类。其主要思想为找到空间中的一个更够将所有数据样本划开的超平面，并且使得本本集中所有数据到这个超平面的距离最短。

1、超平面

我们知道，分类的目的是学会一个分类函数或分类模型（或者叫做分类器），该模型能把数据库中的数据项映射到给定类别中的某一个，从而可以用于预测未知类别。对于用于分类的支持向量机，它是个二分类的分类模型。也就是说，给定一个包含正例和反例（正样本点和负样本点）的样本集合，支持向量机的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，把样本中的正例和反例用超平面分开，但是不是简单地分看，其原则是使正例和反例之间的间隔最大。学习的目标是在特征空间中找到一个分类超平面wx+b=0，分类面由法向量w和截距b决定。分类超平面将特征空间划分两部分，一部分是正类，一部分是负类。法向量指向的一侧是正类，另一侧为负类。
用一个二维空间里仅有两类样本的分类问题来举个小例子。假设我们给定了下图左图所示的两类点Class1和Class2。我们的任务是要找到一个线，把他们划分开。这样可以画出无数条直线将他们分开。但是哪条最好呢？这里的“好”，可以理解为对Class1和Class2都是公平的。因此下图中的黑色那条线，应该是比较符合的。
对于分类来说，我们需要确定一个分类的线，如果新的一个样本到来，如果落在线的左边，那么这个样本就归为class1类，如果落在线的右边，就归为class2这一类。那哪条线才是最好的呢？我们仍然认为是中间的那条，因为这样，对新的样本的划分结果我们才认为最可信，那这里的“好”就是可信了。另外，在二维空间，分类的就是线，如果是三维的，分类的就是面了，更高维，名字就叫超平面。因此，一般将任何维的分类边界都统称为超平面。

2、算法

①、线性SVM（linear SVM）

（1）、硬边距
给定输入数据和学习目标

，硬边界SVM是在线性可分问题中求解最大边距超平面的算法，约束条件是样本点到决策边界的距离大于等于1。硬边界SVM可以转化为一个等价的二次凸优化问题进行求解

由上式得到的决策边界可以对任意样本进行分类

注意到虽然超平面法向量 是唯一优化目标，但学习数据和超平面的截距通过约束条件影响了该优化问题的求解 。硬边距SVM是正则化系数取0时的软边距SVM，其对偶问题和求解参见软边距SVM
2. 软边距
在线性不可分问题中使用硬边距SVM将产生分类误差，因此可在最大化边距的基础上引入损失函数构造新的优化问题。SVM使用铰链损失函数，沿用硬边界SVM的优化问题形式，软边距SVM的优化问题有如下表示：

上式表明可知，软边距SVM是一个L2正则化分类器，式中 表示铰链损失函数。使用松弛变量处理铰链损失函数的分段取值后，上式可化为

求解上述软边距SVM通常利用其优化问题的对偶性（duality）

②、非线性SVM

使用非线性函数将输入数据映射至高维空间后应用线性SVM可得到非线性SVM。非线性SVM有如下优化问题

类比软边距SVM，非线性SVM有如下对偶问题

注意到式中存在映射函数内积，因此可以使用核方法，即直接选取核函数：

非线性SVM的对偶问题的KKT条件可同样类比软边距线性SVM

二、Soft Margin SVM

1、加载鸢尾花数据集并查看散点图分布

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVC
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
X = X [y<2,:2] #只取y<2的类别，也就是0 1 并且只取前两个特征
y = y[y<2] # 只取y<2的类别
# 分别画出类别0和1的点
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],color='red') 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],color='blue')
plt.show()
# 标准化
standardScaler = StandardScaler()
standardScaler.fit(X) #计算训练数据的均值和方差
X_standard = standardScaler.transform(X) #再用scaler中的均值和方差来转换X，使X标准化
svc = LinearSVC(C=1e9) #线性SVM分类器
svc.fit(X_standard,y) # 训练svm

数据点分布

2、绘制决策边界

def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1,1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1,1)
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)
    from matplotlib.colors import ListedColormap
    custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    plt.contourf(x0, x1, zz, linewidth=5, cmap=custom_cmap)
# 绘制决策边界
plot_decision_boundary(svc,axis=[-3,3,-3,3]) # x,y轴都在-3到3之间
# 绘制原始数据即散点图
plt.scatter(X_standard[y==0,0],X_standard[y==0,1],color='red') 
plt.scatter(X_standard[y==1,0],X_standard[y==1,1],color='blue')
plt.show()

绘制决策边界的结果图

3、再次实例化SVC，重新传入一个较小的C

#C越小容错空间越大
svc2 = LinearSVC(C=0.01)
svc2.fit(X_standard,y)
plot_decision_boundary(svc2,axis=[-3,3,-3,3]) # x,y轴都在-3到3之间
# 绘制原始数据
plt.scatter(X_standard[y==0,0],X_standard[y==0,1],color='red') 
plt.scatter(X_standard[y==1,0],X_standard[y==1,1],color='blue')
plt.show()

可以看出第二个决策边界有一个错误的红点，C越小的话容错空间就越大

三、使用多项式与核函数

1、加载月亮数据集

加载过后查看X与y的维度

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
#月亮数据集
X, y = datasets.make_moons() #使用生成的数据
print(X.shape) # (100,2)
print(y.shape) # (100,)

2、绘制散点图

plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1]) 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

3、加入噪声点

X, y = datasets.make_moons(noise=0.15,random_state=777) #随机生成噪声点，random_state是随机种子，noise是方差
#分类
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1]) 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

4、通过多项式特征的SVM进行分类

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.pipeline import Pipeline
def PolynomialSVC(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("poly",PolynomialFeatures(degree=degree)),#生成多项式
        ("std_scaler",StandardScaler()),#标准化
        ("linearSVC",LinearSVC(C=C))#最后生成svm
    ])
poly_svc = PolynomialSVC(degree=3)
poly_svc.fit(X,y)
plot_decision_boundary(poly_svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1]) 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

5、使用核技巧来对数据进行处理

通过使用核技巧来对数据进行处理，使其维度提升，使原本线性不可分的数据，在高维空间变成线性可分的。再用线性SVM来进行处理。

from sklearn.svm import SVC
def PolynomialKernelSVC(degree,C=1.0):
    return Pipeline([
        ("std_scaler",StandardScaler()),
        ("kernelSVC",SVC(kernel="poly")) # poly代表多项式特征
    ])
poly_kernel_svc = PolynomialKernelSVC(degree=3)
poly_kernel_svc.fit(X,y)
plot_decision_boundary(poly_kernel_svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1]) 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

四、核函数

1、产生测试点以及绘制散点图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-4,5,1)#生成测试数据
y = np.array((x >= -2 ) & (x <= 2),dtype='int')
plt.scatter(x[y==0],[0]*len(x[y==0]))# x取y=0的点, y取0，有多少个x，就有多少个y
plt.scatter(x[y==1],[0]*len(x[y==1]))
plt.show()

2、将数据升为二维

使用高斯核函数，将一维的数据映射到二维空间上

# 高斯核函数
def gaussian(x,l):
    gamma = 1.0
    return np.exp(-gamma * (x -l)**2)
l1,l2 = -1,1
X_new = np.empty((len(x),2)) #len(x) ,2
for i,data in enumerate(x):
    X_new[i,0] = gaussian(data,l1)
    X_new[i,1] = gaussian(data,l2)    
plt.scatter(X_new[y==0,0],X_new[y==0,1])
plt.scatter(X_new[y==1,0],X_new[y==1,1])
plt.show()

这样升维过后就可以通过一条直线很轻松的分成两类

五、超参数γ

1、加载月亮数据集

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
#月亮数据集
X,y = datasets.make_moons(noise=0.15,random_state=777)
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

2、定义一个RBF核的SVM

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.pipeline import Pipeline
def RBFKernelSVC(gamma=1.0):
    return Pipeline([
        ('std_scaler',StandardScaler()),
        ('svc',SVC(kernel='rbf',gamma=gamma))
    ])
svc = RBFKernelSVC()
svc.fit(X,y)
plot_decision_boundary(svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1]) 
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1])
plt.show()

3、修改γ值

①、修改γ为100

只需要修改调用函数中的参数即可，也就修改下面一行代码即可

svc = RBFKernelSVC(100)

γ取值越大，就是高斯分布的钟形图越窄，这里相当于每个样本点都形成了钟形图。很明显这样是过拟合的。

②、修改γ为10

svc = RBFKernelSVC(10)

③、修改为0.1

svc = RBFKernelSVC(0.1)

我们可以看出γ值相当于在调整模型的复杂度。

六、回归问题

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
boston = datasets.load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,random_state=777) # 把数据集拆分成训练数据和测试数据
from sklearn.svm import LinearSVR 
from sklearn.svm import SVR
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def StandardLinearSVR(epsilon=0.1):
    return Pipeline([
        ('std_scaler',StandardScaler()),
        ('linearSVR',LinearSVR(epsilon=epsilon))
    ])
svr = StandardLinearSVR()
svr.fit(X_train,y_train)
svr.score(X_test,y_test) #0.6989278257702748

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